Artikel

5.3: Eindeutigkeit einer Senkrechten


Satz (PageIndex{1})

Es gibt eine und nur eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt (P) verläuft und senkrecht zu einer gegebenen Geraden (ell) steht.

Nach obigem Satz gibt es einen eindeutigen Punkt (Q in ell) mit ((QP) perp ell). Dieser Punkt (Q) heißt Fußpunkt von (P) auf (ell).

Nachweisen

Ist (Pinell), dann folgen aus Axiom III sowohl Existenz als auch Eindeutigkeit.

Existenz für (P otin ell). Seien (A) und (B) zwei verschiedene Punkte von (ell). Wähle (P'), so dass (AP' = AP) und (meauredangle BAP' equiv - measuredangle BAP). Nach Axiom IV gilt ( riangle AP'Bcong riangle APB). Insbesondere gilt (AP = AP') und (BP = BP').

Nach Satz 5.2.1 liegen (A) und (B) auf der Mittelsenkrechten zu ([PP']). Insbesondere gilt ((PP') perp(AB) = ell).

Eindeutigkeit für (P otin ell). Von oben können wir einen Punkt (P') so wählen, dass (ell) die Winkelhalbierende zu ([PP']) bildet.

Angenommen (mperpell) und (Pin m). Dann ist (m) eine senkrechte Winkelhalbierende zu einem Segment ([QQ']) von (ell); insbesondere (PQ = PQ').

Da (ell) die Mittelsenkrechte zu ([PP']) ist, erhalten wir (PQ = P'Q) und (PQ' = P'Q'). Deswegen,

(P'Q = PQ = PQ' = P'Q').

Nach Satz 5.2.1 liegt (P') auf der Mittelsenkrechten zu ([QQ']), die (m) ist. Nach Axiom II gilt (m = (PP')).


Für den Fall, dass W ist der Unterraum von V = R 5 ^<5>> (mit dem üblichen Punktprodukt) aufgespannt durch die Zeilen der nächsten Matrix,

sein orthogonales Komplement W ⊥ wird von den drei Zeilenvektoren von aufgespannt

Die Tatsache, dass jeder Vektor der ersten Liste orthogonal zu jedem Vektor der zweiten Liste ist, kann durch direkte Berechnung überprüft werden. Die Tatsache, dass die Spannweiten dieser Vektoren orthogonal sind, folgt dann aus der Bilinearität des Skalarprodukts. Die Tatsache, dass diese Räume orthogonale Komplemente sind, folgt schließlich aus den unten angegebenen Dimensionsbeziehungen.

Die Definition erstreckt sich auf eine bilineare Form auf einem freien Modul über einem kommutativen Ring und auf eine sesquilineare Form, die erweitert wird, um jeden freien Modul über einem kommutativen Ring mit Konjugation einzuschließen. [1]

Eigenschaften Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Das orthogonale Komplement ist in der metrischen Topologie immer abgeschlossen. In endlichdimensionalen Räumen ist dies lediglich ein Beispiel dafür, dass alle Unterräume eines Vektorraums abgeschlossen sind. In unendlichdimensionalen Hilberträumen sind einige Unterräume nicht abgeschlossen, aber alle orthogonalen Komplemente sind abgeschlossen. Wenn W ein Vektorunterraum eines inneren Produktraums ist, ist das orthogonale Komplement des orthogonalen Komplements von W der Abschluss von W , d. h.

Das orthogonale Komplement verallgemeinert auf den Annihilator und liefert eine Galois-Verbindung auf Teilmengen des inneren Produktraums mit zugehörigem Abschlussoperator, dem topologischen Abschluss der Spanne.

Endliche Dimensionen Bearbeiten

Es gibt ein natürliches Analogon zu diesem Begriff in allgemeinen Banachräumen. In diesem Fall definiert man das orthogonale Komplement von W ein Unterraum des Duals von sein V ähnlich definiert wie der Vernichter

Es ist immer ein abgeschlossener Unterraum von V . Es gibt auch ein Analogon der doppelten Komplementeigenschaft. W ⊥⊥ ist jetzt ein Unterraum von V ∗∗ (was nicht identisch mit ist V). Die reflexiven Räume haben jedoch einen natürlichen Isomorphismus ich zwischen V und V . In diesem Fall haben wir

Dies ist eine ziemlich einfache Konsequenz des Hahn-Banach-Theorems.

In der speziellen Relativitätstheorie wird das orthogonale Komplement verwendet, um die simultane Hyperebene an einem Punkt einer Weltlinie zu bestimmen. Die im Minkowski-Raum verwendete Bilinearform η bestimmt einen pseudoeuklidischen Ereignisraum. Der Ursprung und alle Ereignisse auf dem Lichtkegel sind selbstorthogonal. Wenn ein Zeitereignis und ein Raumereignis unter der bilinearen Form zu null ausgewertet werden, dann sind sie hyperbolisch-orthogonal. Diese Terminologie rührt von der Verwendung von zwei konjugierten Hyperbeln in der pseudoeuklidischen Ebene her: Die konjugierten Durchmesser dieser Hyperbeln sind hyperbolisch-orthogonal.


5.3: Eindeutigkeit einer Senkrechten

Lösung zu Aufgabe 2.57.
Der Wert von Euklids Werk als Meisterwerk der Logik wurde stark übertrieben.
Bertrand Russell (1872–1970)


Übung 2.57.Beweisen Sie Satz 2.12. Gegeben eine Linie und ein Punkt, der nicht auf der Linie liegt, existiert eine eindeutige Linie senkrecht zu der gegebenen Linie durch den gegebenen Punkt.

Nachweisen. Lass mich eine Linie sein und P sei ein punkt nicht auf der linie l. Lassen EIN und B seien zwei Punkte auf der Linie l. Nach dem Winkelkonstruktions-Postulat gibt es einen Strahl AQ mit Q und P auf gegenüberliegenden Seiten der Linie l und Nach dem Herrscherpostulat gibt es einen Punkt R online AQ und auf der gleichen Seite der Linie l wie Q so dass AR = AP. Beachten Sie, dass P und R sind auf gegenüberliegenden Seiten der Linie l. Daher gibt es nach dem Plane Separation Postulat einen Punkt C online l so dass P-C-R. Eine der folgenden Aussagen trifft zu: A-B-C, C = B, A-C-B, C = A, oder C-A-B.

Fall 1. Angenommen A-B-C, C = B, oder A-C-B. Da und wir haben Folglich, Somit und sind ein lineares Paar kongruenter Winkel, da P-C-R. Da ein lineares Paar kongruenter Winkel rechte Winkel sind, ist Linie PR ist senkrecht zur Linie

Fall 2. Angenommen C = A. Seit und PAR, und sind ein lineares Paar kongruenter Winkel. Da ein lineares Paar kongruenter Winkel rechte Winkel sind, ist Linie PR ist senkrecht zur Linie

Fall 3. Angenommen TAXI. Dann sind und ein lineares Paar. Auch und sind ein lineares Paar. Daher durch das Ergänzungspostulat und die Definition von Ergänzungswinkeln, und deshalb,

Da und wir haben Folglich, Somit und sind ein lineares Paar kongruenter Winkel, da P-C-R. Da ein lineares Paar kongruenter Winkel rechte Winkel sind, ist Linie PR ist senkrecht zur Linie

Alle Fälle zeigen, dass es eine Gerade gibt durch P senkrecht zur Linie l. Wir müssen zeigen, dass die Linie eindeutig ist. Angenommen, es gibt zwei Linien durch P die senkrecht zur Linie stehen l. Lassen EIN und B seien die Punkte auf der Linie l wo die beiden senkrechten Linien die Linie schneiden l. Lassen C sei ein Punkt auf der Linie l so dass ABC. Dann ist ein Außenwinkel von . Nach dem Außenwinkelsatz, da Linie PB und Linie PA sind senkrecht zur Linie l, und sind rechtwinklig. Daher ist dies jedoch ein Widerspruch. Daher ist die Leitung durch P das ist senkrecht zur Linie l ist einzigartig.//


Es gibt unendlich viele Vektoren in 3 Dimensionen, die senkrecht zu einem festen stehen. Sie sollten nur die folgende Formel erfüllen: $(3mathbf+4mathbf-2mathbf) cdot v=0$

Um alle zu finden, wählen Sie einfach 2 senkrechte Vektoren, wie $v_1=(4mathbf-3mathbf)$ und $v_2=(2mathbf+3mathbf)$ und jede Linearkombination davon steht auch senkrecht zum Originalvektor: $v=((4a+2b)mathbf-3amathbf+3bmathbf) hspace <10 mm>a,b in mathbb$

Nehmen Sie ein Kreuzprodukt mit einem beliebigen Vektor. Sie erhalten einen solchen Vektor.

Ein verwandtes Problem besteht darin, einen Algorithmus zu konstruieren, der einen von Null verschiedenen senkrechten Vektor ohne Verzweigung findet. Wenn der Eingabevektor N = (a,b,c) ist, können Sie immer T = (c,c,-a-b) wählen, aber T ist Null, wenn N=(-1,1,0). Sie könnten immer prüfen, ob T null ist, und dann T = (-b-c,a,a) wählen, wenn dies der Fall ist, aber dies erfordert einen Test und eine Verzweigung. Ich kann nicht sehen, wie dies ohne den Test und die Verzweigung geht.

Du musst nur finden irgendein Vektor $v eq 0$ mit $v cdot (3mathbf+4mathbf-2mathbf) = 0$.

Es gibt keine eindeutige Lösung, jeder wird es tun. Um das Tippen zu sparen, sei $p = 3mathbf+4mathbf-2mathbf$.

Wähle einen Vektor $x$, d.h. nicht auf der Linie durch den Ursprung und $p$. Nimm $x = 3mathbf$ zum Beispiel.

Konstruieren Sie einen Vektor senkrecht zu $p$ wie folgt: Finden Sie einen Wert von $t$, so dass $(x+t p) cdot p = 0$ ist. Dann steht der Vektor $v=x+t p$ senkrecht auf $p$.

In meinem Beispiel ist $(x+t p) = (3 + 3 t)mathbf+4 t mathbf-2tmathbf$, und $(x+t p) cdot p = 9 + 29 t$. Durch die Wahl von $t=-frac<9><29>$ steht der Vektor $v=x+t p$ nun senkrecht auf $p$.

Eine vorgeschlagene Lösung ohne Verzweigung könnte sein: Konstruieren Sie ein Array aus 2 Vektorelementen wie folgt:

Wenn (c, c, -a-b) null ist, ist selectIndex 1 und der andere Vektor wird ausgewählt.

Für jeden von Null verschiedenen Vektor $(a,b,c)$ sind die drei von $(0,c,-b),(-c,0,a)$ und $(-b,a,0)$ orthogonal zu es.

Um den "Parallelfall" zu vermeiden, können Sie den mit dem größten quadratischen Modul aus $c^2+b^2, c^2+a^2$ und $b^2+a^2$ oder den mit auswählen die beiden größten absoluten Komponenten oder einfach eine mit der größten absoluten Komponente. Die Wahl des größten wird auch die numerische Stabilität optimieren.

Der größte quadrierte Modul entspricht auch der kleinsten (absoluten) Komponente.

Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, den Vektor in Form eines Kugelkoordinatensystems auszudrücken. Beispielsweise

Vorausgesetzt, dass $a eq 0$ oder $b eq 0$ dann

Natürlich ist jede von Null verschiedene Linearkombination dieser beiden Vektoren auch orthogonal

$ oldsymbol = cos(t) oldsymbol_1 + sin(t) oldsymbol_2 $

wobei $t$ ein Drehwinkel um den Vektor $oldsymbol . ist$ .

Füge alles zusammen, um eine Familie orthogonaler Vektoren in Bezug auf $t$ as . zu bilden

Für $oldsymbol = pmatrix<3 & 4 & -2>$ das obige ergibt

$ oldsymbol = pmatrix <4>sin(t)-4 cos(t) 3 cos(t) - frac<8> <5>sin(t) 5 sin(t) > longrightarrow egin oldsymbol = pmatrix <-4 & 3 & 0>& t =0 oldsymbol =pmatrix <5>& frac<8> <5>& 5> & t = frac <2>end $

Für den Fall $a=0$ und $b=0$ kann man die Senkrechte etwas willkürlich mit

$oldsymbol = cos(t) oldsymbol_1 + sin(t) oldsymbol_2$

Eine geometrische Lösung wäre wie folgt. Die Ebene $3x+4y-2z=0$ steht senkrecht auf dem Vektor $3i+4j−2k$. Jeder Vektor in dieser Ebene steht also senkrecht auf diesem Vektor. Sie können also beliebige $x$, $y$ und $z$ wählen, die in der Ebene $3x+4y-2z=0$ liegen und das resultierende $xi+yj+zk$ steht senkrecht auf $3i+4j−2k $,

Die Vektoren senkrecht zu $(3,4,-2)$ bilden einen zweidimensionalen Unterraum, die Ebene $3x+4y-2z=0$ , durch den Ursprung.

Um Lösungen zu erhalten, wählen Sie Werte für zwei beliebige von $x,y$ und $z$ aus und verwenden Sie dann die Gleichung, um nach der dritten aufzulösen.

Der Lösungsraum könnte auch als $V^$ beschrieben werden, wobei $V=<(3t,4t,-2t):tinBbb R>$ die Gerade (oder der eindimensionale Vektor Leerzeichen) aufgespannt von $(3,4-2)$ .

Kurze Antwort: der Vektor $(s_z,(z + s_z) - x^2, -x y, -x,(z + s_z))$ mit $s_z := ext(z) , |(x,y,z)|$ ist orthogonal zum Vektor $(x,y,z)$ .

Beachten Sie, dass wir annehmen, dass $ ext(x)$ ist als 1$ für $x ge 0$ und ansonsten als $-1$ definiert.

Sei $(x,y,z)$ ein Vektor mit der Norm s und z > -s, dann ist die folgende Matrix eine orthogonale Basis, wobei jeder Basisvektor die Norm s hat:

Es gibt zwei bemerkenswerte Fälle, wenn z = -s:

  1. Der Vektor hat die Form $(0,0,z)$ mit z < 0 und wir können ihn einfach invertieren, bevor wir die obige Formel anwenden. Wie unten gezeigt, kann dies ausgenutzt werden, um eine verzweigungsfreie Implementierung zu erhalten.
  2. Der Vektor ist der Nullvektor $(0,0,0)$ . "senkrecht" macht im Fall des Nullvektors nicht viel Sinn. Wenn Sie es als "Punktprodukt ist Null" interpretieren, können Sie einfach den Nullvektor zurückgeben.

Diese beiden Probleme können wir wie folgt lösen:

Schauen wir uns den ersten Vektor an: $(s - frac, -frac, -x)$ . Die Singularität bei $(0,0,-1)$ kann vermieden werden, indem der Eingabevektor invertiert und dann das Ergebnis invertiert wird, was Folgendes ergibt: $(-s - frac, -frac, -x)$ .

Dieser Idee folgend können wir $s_z := ext(z) , s$ und berechne einen orthogonalen Basisvektor für irgendein Nicht-Null-Vektor $(x,y,z)$ als:

Dies führt zu einer schönen verzweigungsfreien C++-Implementierung für einen normalisierten Vektor:

Überprüfen Sie die Implementierung von Copysign auf Ihrer Plattform, um sicherzustellen, dass copysign(1., 0.) 1 und nicht 0 zurückgibt.

Für einen beliebigen Vektor, der nicht unbedingt normalisiert ist, können wir einen kleinen Trick anwenden, um einen orthogonalen Vektor zu erhalten: Wir skalieren den Vektor um den Faktor $z+s_z$ und erhalten:

$(s_z,(z + s_z) - x^2, -x y, -x,(z + s_z))$

Dieser Vektor ist immer noch orthogonal zum Originalvektor $(x,y,z)$, da er nur um einen Faktor skaliert wurde. Es hat auch die Nullnorm genau dann, wenn die Norm des ursprünglichen Vektors 0 ist.


Berechnung der Rotationsträgheit ohne Integration

Während unseres gesamten Studiums der Mechanik war es unser Ziel, Shortcut-Tools zu entwickeln, die uns helfen, auf einfachere Weise mit physikalischen Systemen umzugehen. Wir haben die Arbeitsenergie entwickelt, um Probleme zu lösen, die weder Richtung noch Zeit beachten, ohne sich durch die Newtonschen Gesetze zu quälen (wie Geschwindigkeit in einer bestimmten Höhe auf einem Loop-de-Loop). Wir haben Impuls-Impuls entwickelt, um Probleme mit Systemen mit komplizierten Schnittgrößen (wie Kollisionen) leichter lösen zu können. Jetzt entwickeln wir ein Werkzeug für Starrkörperrotationen, damit wir nicht die linearen Bewegungen aller Teilchen im System verfolgen müssen. Bei dieser sehr praktischen Denkweise überrascht es nicht, dass Physiker Werkzeuge zur Berechnung der Rotationsträgheit entwickelt haben, die die Hässlichkeit vermeiden, immer Integrale ausführen zu müssen. Die erste solche Abkürzung ist einfach eine Sammlung von Rotationsträgheiten, die mit üblichen symmetrischen Geometrien wie Stäben, Scheiben und Kugeln verbunden sind. Unsere Kollektion finden Sie am Ende des Abschnitts. Es gibt zwei Tools, die wir mit unserer Sammlung von Rotationsträgheiten kombinieren können, die es uns ermöglichen, unseren Weg zu "bootstrap" und viele weitere zu bestimmen.

Additivität um eine gemeinsame Achse

Angenommen, wir kennen die Rotationsträgheiten zweier separater Objekte um eine gemeinsame Achse. Wenn diese beiden Objekte so befestigt sind, dass sie sich zusammen starr um diese gemeinsame Achse drehen, dann ist die Rotationsträgheit des kombinierten Objekts einfach die Summe ihrer Rotationsträgheiten. Dies geht aus der Formel für die Rotationsträgheit hervor: Jedes Objekt hat seine eigene Summe von (mx^2)-Termen, und wenn die Objekte so kombiniert werden, dass ihre (x)-Achsen gemeinsam sind, dann ist die neue Summe von (mx^2) Terme ist einfach die Kombination der beiden Einzelsummen. Zusammenfassen:

Verwenden Sie die additive Eigenschaft der Rotationsträgheit und das Ergebnis von Gleichung 5.3.7, um die Rotationsträgheit eines gleichförmigen dünnen Stabes der Masse (M) und der Länge (L) um seinen Massenschwerpunkt zu bestimmen.

Wir können einen Stab, der um eine Achse durch seinen Mittelpunkt gedreht wird, so behandeln, als ob er zwei separate Halbstäbe von halber Masse und halber Länge wären, die an ihren Enden befestigt sind. Die Achse, die durch die Mitte des Stabes geht, geht durch die Enden dieser beiden Halbstäbe, und wir kennen die Rotationsträgheit jedes Halbstabes. Die Additivitätseigenschaft gibt uns dann die Rotationsträgheit des ganzen Stabes um seinen Mittelpunkt:

Parallelachsensatz

Wie wir bereits mehrfach gesehen haben, führt allein die Änderung der Achse, um die ein Objekt gedreht wird, zu einer anderen Rotationsträgheit. Angenommen, wir berechnen die Rotationsträgheit eines Objekts um eine Achse, schieben diese Achse dann parallel auf dem Objekt und berechnen die neue Rotationsträgheit, wiederholen dies dann immer wieder und zeichnen jedes Mal die neuen Werte auf. Man könnte fragen: "Wo ist die Achse (parallel zur ursprünglichen), für die die Rotationsträgheit die kleinste?" Gibt es eine Möglichkeit zu erraten, wo dies sein könnte, und ist es einzigartig, oder gibt es mehrere Stellen, an denen die Rotationsträgheit ein Minimum erreicht?

Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir ein eindimensionales Objekt, das entlang der (x)-Achse liegt, und betrachten seine Rotationsträgheit um die (y)-Achse. Wenn man es als Summe und nicht als Integral schreibt, lautet es:

[ I = m_1x_1^2 + m_2x_2^2 + dots]

Nehmen wir nun an, wir entscheiden uns, die Position des Ursprungs zu ändern, indem wir ihn um eine Strecke (+x) entlang der (x)-Achse verschieben. Dabei ändert sich der Abstand von der Achse zur Masse (m_1) von (x_1) auf (x_1-x). Da die ursprüngliche Achse durch den Ursprung ging, ist diese neue Achse nicht mehr die (y)-Achse &ndash schneidet jetzt die (x)-Achse bei (x). Die neue Rotationsträgheit ist daher:

[ I = m_1left(x_1-x ight)^2 + m_2left(x_2-x ight)^2 + dots]

Wir können dies als eine Funktion von (x) betrachten. Das heißt, diese Formel liefert die Rotationsträgheit des Objekts um die Achse, die sich bei (x) befindet. Wir können nun unsere Frage, wo die Rotationsträgheit ein Minimum ist, mithilfe von Infinitesimalrechnung beantworten. Der Wert von (x), für den die Funktion (Ileft(x ight)) ein Minimum ist, erfüllt:

[ 0 = dfrac = -2m_1left(x_1-x ight) - 2m_2left(x_2-x ight) + dots]

Das Auflösen nach (x) liefert hier ein bekanntes Ergebnis:

Die Rotationsträgheit eines Objekts für alle zueinander parallelen Achsen ist ein Minimum für die Achse, die durch den Massenschwerpunkt geht! Eigentlich sollte dies nicht allzu überraschend sein. Die Rotationsträgheit eines Objekts wird um eine Achse minimiert, die so nah wie möglich an der Masse des Objekts liegt, und der Massenschwerpunkt ist der "durchschnittliche Ort der Masse", daher ist es sinnvoll, dass dies "Quoten" ist so nah wie möglich an der Masse des Objekts."

Angesichts dieser Informationen können wir die Rotationsträgheit eines Objekts um eine Achse parallel zu einer Achse schreiben, die durch den Massenmittelpunkt verläuft, eine positiv bewertete "Anpassung" der Rotationsträgheit um den Massenmittelpunkt. Es stellt sich heraus (wir werden es hier nicht beweisen), dass diese Anpassung recht einfach ist &ndash es ist nur die Masse des Objekts multipliziert mit dem Quadrat des Offset-Abstands zwischen der neuen Achse und der Achse durch den Massenmittelpunkt. Das nennt man Parallelachsensatz :

wobei (d) der Abstand zwischen der neuen Achse und dem Massenmittelpunkt ist.

Verwenden Sie den Parallelachsensatz und das Ergebnis von Gleichung 5.3.7, um die Rotationsträgheit eines gleichförmigen dünnen Stabes der Masse (M) und der Länge (L) um seinen Massenmittelpunkt zu bestimmen.

Der Abstand des Stabendes vom Schwerpunkt des Stabes beträgt (d=L/2). Setzen wir dies in den Parallelachsensatz ein, erhalten wir unsere Antwort, die mit dem übereinstimmt, was wir in Beispiel 5.2.2 erhalten haben:

[ ICH_ = ich_ + Md^2 Pfeil nach rechts I_ = ich_ - Md^2 = frac<1><3>ML^2 - Mleft(dfrac<2> ight)^2 = left(frac<1><3>-frac<1><4> ight)ML^2 = oxed<12>ML^2 > keineZahl ]


Fragen

Finden Sie für die Fragen 1 bis 6 die Steigung einer beliebigen Linie, die parallel zu jeder gegebenen Linie wäre.

Finden Sie für die Fragen 7 bis 12 die Steigung einer beliebigen Linie, die senkrecht zu jeder gegebenen Linie wäre.

Schreiben Sie für die Fragen 13 bis 18 die Steigungs-Schnittpunkt-Form der Gleichung jeder Geraden unter Verwendung des gegebenen Punktes und der gegebenen Geraden.

  1. (1, 4) und parallel zu
  2. (5, 2) und senkrecht zu
  3. (3, 4) und parallel zu
  4. (1, −1) und senkrecht zu
  5. (2, 3) und parallel zu
  6. (−1, 3) und senkrecht zu

Schreiben Sie für die Fragen 19 bis 24 die allgemeine Form der Gleichung jeder Geraden mit dem gegebenen Punkt und der gegebenen Geraden.

  1. (1, −5) und parallel zu
  2. (1, −2) und senkrecht zu
  3. (5, 2) und parallel zu
  4. (1, 3) und senkrecht zu
  5. (4, 2) und parallel zu
  6. (3, −5) und senkrecht zu

Schreiben Sie für die Fragen 25 bis 36 die Gleichung entweder der horizontalen oder der vertikalen Linie, die durch jeden Punkt verläuft.

  1. Horizontale Linie durch (4, −3)
  2. Vertikaler Strich durch (−5, 2)
  3. Vertikaler Strich durch (−3,1)
  4. Horizontale Linie durch (−4, 0)
  5. Horizontale Linie durch (−4, −1)
  6. Vertikale Linie durch (2, 3)
  7. Vertikaler Strich durch (−2, −1)
  8. Horizontale Linie durch (−5, −4)
  9. Horizontale Linie durch (4, 3)
  10. Vertikaler Strich durch (−3, −5)
  11. Vertikaler Strich durch (5, 2)
  12. Horizontale Linie durch (5, −1)

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-3-6/”>Answer Key 3.6


Abstrakt

Das Scherausrichtungsverhalten wurde auf smektische CA (SCA) Phase des Hauptketten-BB-5(3-Me)-Polyesters unter Verwendung einer Kegel-Platte-Halterung. Im smektischen Temperaturbereich von 100 bis 140 °C wurden durch Weitwinkel-Röntgenbeugung zwei unterschiedliche Orientierungen identifiziert. Bei Temperaturen unter 130 °C ordnen sich die smektischen Schichten mit der Einheitsnormalen senkrecht zur Scherrichtung und parallel zur Richtung des Geschwindigkeitsgradienten an (sog. Parallelorientierung). Die Scherung bei hohen Temperaturen nahe der Isotropisierungstemperatur führt zur Orientierung der smektischen Schichten mit einer Einheitsnormalen senkrecht sowohl zur Strömungs- als auch zur Geschwindigkeitsgradientenrichtung (senkrechte Orientierung). Bei den Zwischentemperaturen existieren beide Orientierungen nebeneinander. Das SR-SAXS-Profil der parallel orientierten Probe, gemessen mit Bestrahlung entlang der Vorticity-Richtung, enthält einen kleinen Peak mit einem Abstand von etwa 80 Å in Richtung des Geschwindigkeitsgradienten, der parallel zur Kettenachse ist. Der lange Abstand ist ungefähr 5-mal größer als die Länge der Wiederholungseinheit, d. h. die smektische Schichtdicke (16,4 ), was die Existenz von kettengefalteten Lamellen zeigt. Die parallele Ausrichtung wird auf das gegenseitige Gleiten der kettengefalteten Lamellen zurückgeführt. Bei höheren smektischen Temperaturen hingegen erfolgt die Strömung der Moleküle innerhalb einer smektischen Schicht bevorzugt zum gegenseitigen Gleiten der Lamellen, das für die senkrechte Orientierung verantwortlich ist.

Autor für Korrespondenz: Tel +81-3-5734-2834 Fax +81-3-5734-2888 E-Mail [Email protected]


Inhalt

Maxwell-Gleichungen Bearbeiten

Im Allgemeinen ist das Entmagnetisierungsfeld eine Funktion der Position h(R) . Sie wird aus den magnetostatischen Gleichungen für einen Körper ohne elektrische Ströme abgeleitet. [2] Dies ist das Gesetz von Ampère

Das Magnetfeld und die Flussdichte hängen zusammen mit [5] [6]

Das magnetische Potenzial Bearbeiten

Die allgemeine Lösung der ersten Gleichung lässt sich als Gradient eines Skalarpotentials U (R) :

Innerhalb des magnetischen Körpers ist das Potential U In wird bestimmt durch Ersetzen (3) und (4) In (2):

Außerhalb des Körpers, wo die Magnetisierung Null ist,

An der Oberfläche des Magneten gibt es zwei Kontinuitätsanforderungen: [5]

  • Die Komponente von hparallel zur Fläche muss stetig sein (kein Wertsprung an der Fläche).
  • Die Komponente von Bsenkrecht zur Oberfläche muss durchgehend sein.

Dies führt zu folgenden Randbedingungen an der Oberfläche des Magneten:

Das äußere Potential U aus muss auch sein regelmäßig bei unendlich: beide | r U | und | r 2 U | muss beschränkt werden, wenn r gegen unendlich geht. Dadurch wird sichergestellt, dass die magnetische Energie endlich ist. [10] In ausreichender Entfernung sieht das Magnetfeld aus wie das Feld eines magnetischen Dipols mit dem gleichen Moment wie der endliche Körper.

Eindeutigkeit des Entmagnetisierungsfeldes Bearbeiten

Beliebige zwei Potentiale, die Gleichungen (5), (6) und (7) sind zusammen mit der Regularität im Unendlichen identisch. Das entmagnetisierende Feld hD ist der Gradient dieses Potentials (Gleichung 4).

Energie Bearbeiten

Die Energie des entmagnetisierenden Feldes wird vollständig durch ein Integral über das Volumen V des Magneten bestimmt:

Angenommen, es gibt zwei Magnete mit Magnetisierungen m1 und m2 . Die Energie des ersten Magneten im Entmagnetisierungsfeld hD (2) der zweiten ist

Das Reziprozitätssatz besagt, dass [9]

Magnetische Ladung und das Polvermeidungsprinzip Bearbeiten

Formal ist die Lösung der Potentialgleichungen

wo Rist die Variable, die im ersten Integral über das Volumen des Körpers und im zweiten über die Fläche zu integrieren ist, und ′ ist der Gradient in Bezug auf diese Variable. [9]

Qualitativ das Negative der Divergenz der Magnetisierung − ∇ · m (genannt Volumenpol) ist analog zu einer massegebundenen elektrischen Ladung im Körper, während n · m (genannt Oberflächenpol) ist analog zu einer gebundenen elektrischen Oberflächenladung. Obwohl die magnetischen Ladungen nicht existieren, kann es nützlich sein, sie auf diese Weise zu betrachten. Insbesondere die Anordnung der Magnetisierung, die die magnetische Energie reduziert, lässt sich oft unter dem Aspekt der Polvermeidungsprinzip, die besagt, dass die Magnetisierung versucht, die Pole so weit wie möglich zu reduzieren. [9]

Einzelne Domain Bearbeiten

Eine Möglichkeit, die Magnetpole innerhalb eines Ferromagneten zu entfernen, besteht darin, die Magnetisierung gleichmäßig zu machen. Dies tritt in Einzeldomänen-Ferromagneten auf. Dadurch bleiben die Oberflächenpole immer noch übrig, so dass die Aufteilung in Domänen die Pole weiter reduziert. Sehr kleine Ferromagnete werden jedoch durch die Austauschwechselwirkung gleichmäßig magnetisiert.

Die Polkonzentration hängt von der Magnetisierungsrichtung ab (siehe Abbildung). Liegt die Magnetisierung entlang der längsten Achse, verteilen sich die Pole auf eine kleinere Fläche, sodass die Energie geringer ist. Dies ist eine Form der magnetischen Anisotropie namens Formanisotropie.

Mehrere Domänen Bearbeiten

Wenn der Ferromagnet groß genug ist, kann sich seine Magnetisierung in Domänen aufteilen. Es ist dann möglich, die Magnetisierung parallel zur Oberfläche zu haben. Innerhalb jeder Domäne ist die Magnetisierung gleichförmig, es gibt also keine Volumenpole, aber Oberflächenpole an den Grenzflächen (Domänenwänden) zwischen den Domänen. Diese Pole verschwinden jedoch, wenn die magnetischen Momente auf beiden Seiten der Domänenwand im gleichen Winkel auf die Wand treffen (so dass die Komponenten n · m sind gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen). Auf diese Weise konfigurierte Domänen heißen Verschlussdomänen.

Ein beliebig geformtes magnetisches Objekt hat ein Gesamtmagnetfeld, das mit der Position innerhalb des Objekts variiert und ziemlich schwer zu berechnen sein kann. Dies macht es sehr schwierig, die magnetischen Eigenschaften eines Materials zu bestimmen, beispielsweise wie sich die Magnetisierung eines Materials mit dem Magnetfeld ändert. Für eine gleichmäßig magnetisierte Kugel in einem gleichmäßigen Magnetfeld h0 das innere Magnetfeld h ist einheitlich:

wo m0 ist die Magnetisierung der Kugel und γ wird als Entmagnetisierungsfaktor bezeichnet und entspricht 4 π /3 für eine Kugel. [5] [6] [11]

Diese Gleichung kann so verallgemeinert werden, dass sie Ellipsoide mit Hauptachsen in x-, y- und z-Richtung enthält, sodass jede Komponente eine Beziehung der Form hat: [6]

Andere wichtige Beispiele sind eine unendliche Platte (ein Ellipsoid, bei dem zwei seiner Achsen ins Unendliche gehen) mit γ = 4 π in einer Richtung senkrecht zur Platte und ansonsten null und ein unendlicher Zylinder (ein Ellipsoid, dessen eine Achse ins Unendliche strebt) wobei die anderen beiden gleich sind), die = 0 entlang ihrer Achse und 2 π senkrecht zu ihrer Achse hat. [12] Die Entmagnetisierungsfaktoren sind die Hauptwerte des Depolarisationstensors, der sowohl die inneren als auch die äußeren Werte der Felder angibt, die in ellipsoiden Körpern durch angelegte elektrische oder magnetische Felder induziert werden. [13] [14] [15]


2. Dreieckssatz

2.1. Dreieckssatz 1 für 1 gleiche Länge : ASA

Wenn und und. Notieren Sie 2 Winkel an 2 Enden der gleichen Seite des Dreiecks.

2.1.1. Nachweisen

Es gibt nur 1 Linie parallel zu AB von E, ebenso nur 1 Linie parallel zu CA von F.

Diese 2 Dreiecke sind also aufgrund der Eindeutigkeitseigenschaft kongruent

2.2. Dreieckssatz 2 für 2 gleiche Länge : SAS

Wenn und . Beachten Sie den Winkel, der von 2 gleichen Seiten des Dreiecks gebildet wird.

2.2.1. Nachweisen

Es gibt nur eine Linie von D nach F, um dieses Dreieck zu erstellen.

Diese 2 Dreiecke sind also aufgrund der Eindeutigkeitseigenschaft kongruent

2.3. Dreieckssatz 3 für 3 gleiche Länge : SSS

2.3.1. Nachweisen

Zeichnen Sie einen Kreis bei E mit Radius ED und einen anderen bei F mit Radius FD, sie schneidet an einem Punkt D, um eine einzigartige..


Geometrie, Common Core Style

Diese Woche kehre ich zu Kapitel 3 des U of Chicago-Textes zurück, um einige der Lektionen aufzugreifen, die wir übersprungen haben. Aber selbst dann mache ich die zweite Hälfte von Kapitel 3 nicht einfach der Reihe nach. Erstens umgehe ich immer noch Abschnitt 3-4, da ich das Postulat der entsprechenden Winkel speichern möchte, bis ich bereit bin, Hung-Hsi Wus Methode zur Ableitung dieser Eigenschaft zu zeigen - was ich bald tun werde.

Offiziell mache ich jetzt Abschnitt 3-5, aber andererseits nicht wirklich. Betrachten wir den Inhalt dieses speziellen Abschnitts:

-- Die Definition von aufrecht wurde bereits abgedeckt. Ich habe es in Abschnitt 3-2 verschoben, als ich rechte Winkel definiert habe, weil ich es einbeziehen wollte, bevor ich zu Kapitel 4 über Reflexionen springe, da Reflexionen in Bezug auf die definiert werden aufrecht halbierende.

-- Das Perpendicular-to-Parallels-Theorem ist ein interessanter Fall. Letzte Woche habe ich erwähnt, dass es einige interessante und wichtige Sätze gibt, die von Perpendicular to Parallels abgeleitet werden – und dazu gehören die Eigenschaften von Übersetzungen sowie einige der Nebenläufigkeitssätze. Ich sagte, dass es vielleicht besser wäre, dies einfach als Postulat und verwenden Sie es, um diese anderen Sätze zu beweisen. Und während ich immer mehr darüber nachdenke, gefällt mir die Idee, dies als Postulat aufzunehmen, es dann zu verwenden, um diese anderen Theoreme sowie das Parallel-Postulat von Playfair zu beweisen und schließlich Playfair zu verwenden, um die anderen Parallelen Konsequenzen nach Dr. Franklin Mason.

Nun, wie ich in diesem Beitrag andeute, stammt das meiste, was ich in diesem Blog schreibe, von Mathematikern wie Dr. M und Dr. Wu, die ausführlich über Common Core Geometry geschrieben haben. Aber mein Plan, Perpendicular in Parallels als Postulat scheint mir originell zu sein. Ich habe gesucht und noch keinen Text oder eine Website gefunden, die alle Ergebnisse paralleler Linien aus einem Postulat von Perpendicular zu Parallels ableitet. Andererseits ist das, was ich hier tue, in gewisser Weise so alt wie Euklid.

Schauen wir uns noch einmal das Parallel-Postulat von Playfair an:

Durch einen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, verläuft höchstens eine Gerade parallel zur gegebenen Geraden.

Dies ist eine einfache, leicht verständliche Darstellung eines Parallel-Postulats, und Dr. M verwendet dieses Postulat, um seine Parallelen Konsequenzen abzuleiten. Aber schauen wir uns Euklids Fünftes Postulat an, wie es auf der Website von David Joyce geschrieben steht:

Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, treffen sich die beiden Geraden, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden, auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind.

Kein moderner Geometrietext würde sein Parallel-Postulat auf diese Weise formulieren. Zum einen verwendet Euklid, obwohl die Verwendung von Grad zum Messen von Winkeln auf die alten Babylonier zurückgeht, niemals Grad in seinem Elemente. Der Ausdruck "weniger als zwei rechte Winkel" ist also wirklich nur Euklids Schreibweise "weniger als 180 Grad". Tatsächlich formuliert der Text der U of Chicago in Abschnitt 13-6 Euklids fünftes Postulat wie folgt:

Wenn zwei Linien durch eine Transversale geschnitten werden und die Innenwinkel auf derselben Seite der Transversale ein Gesamtmaß von weniger als 180 haben, dann schneiden sich die Linien auf dieser Seite der Transversale.

Aber gehen wir zurück zum Satz von Perpendicular to Parallels, wie in Abschnitt 3-5 beschrieben:

Wenn in einer Ebene eine Gerade senkrecht zu einer von zwei parallelen Geraden steht, dann steht sie senkrecht zur anderen.

Zählen Sie nun die Anzahl der in diesem Satz erwähnten rechten Winkel. Da die Transversale senkrecht zur ersten Linie steht, erhalten wir unseren ersten rechten Winkel, und die Schlussfolgerung, dass die Transversale senkrecht zur zweiten Linie steht, gibt uns unseren zweiten rechten Winkel. Wir haben also zwei rechte Winkel – genau wie Euklid! In gewisser Weise macht es also unser Postulat, das Perpendicular-to-Parallels-Theorem zu unserem Parallel-Postulat zu machen mehr wie Euklids Fünftes Postulat, nicht weniger.

Wenn wir unser Postulat noch mehr wie das von Euklid machen wollten, könnten wir natürlich schreiben:

Wenn eine Ebene, wenn eine Transversale senkrecht zu einer Linie steht und mit einer anderen einen spitzen Winkel (dh kleiner als rechts) bildet, dann schneiden sich diese beiden Linien auf derselben Seite der Transversale wie der spitze Winkel.

Aber das würde uns auf viele indirekte Beweise vorbereiten, die ich vermeiden möchte. Unser Postulat Perpendicular to Parallels kommt Euclid also am nächsten, ohne die Schüler mit indirekten Beweisen zu verwirren.

Also genau das habe ich vor. Da wir uns in Abschnitt 3-5 befinden, dem Abschnitt, in dem Perpendicular to Parallels angegeben ist, könnte ich ihn hier einfügen -- wir müssen uns nicht darum kümmern, wie wir ihn beweisen können, da ich ihn zu einem Postulat machen möchte. Aber ich sagte bereits, dass ich bis Kapitel 5 warten möchte, bevor ich irgendeine Art von Parallelpostulat einbeziehe. Und so wird in diesem Kapitel das neue Postulat gegeben.

-- Das Theorem über senkrechte Linien und Neigungen muss ebenfalls warten. Common Core Geometry bietet eine interessante Möglichkeit, diesen Satz zu beweisen, aber der Beweis hängt von ähnlichen Dreiecken ab, die ich erst im zweiten Semester behandeln möchte.

Damit bleibt uns nur ein Ergebnis übrig, das in 3-5 behandelt werden muss: das Theorem der zwei Perpendiculars:

If two coplanar lines l und m are each perpendicular to the same line, then they are perpendicular to each other.

This theorem doesn't require any Parallel Postulate to prove. Indeed, even though I just wrote that I don't want to use indirect proof, in some ways this theorem is just begging for an indirect proof:

Indirect Proof:
Assume that lines l und m are both perpendicular to line n, yet aren't parallel. Then the lines must intersect (as they can't be skew, since we said "coplanar") at some point P. So l und m sind zwei lines passing through point P perpendicular to n. But the Uniqueness of Perpendiculars Theorem (stated on this about two weeks ago) states that there is only eins line passing through point P perpendicular to n, a blatant contradiction. Deswegen l und m must be parallel. QED

But this would be a very light lesson indeed if all I included is this one theorem. Because of this, I decided to include a theorem that I mentioned back in July -- the Line Parallel to Mirror Theorem (companion to the Line Perpendicular to Mirror Theorem mentioned a few weeks ago):

Line Parallel to Mirror Theorem:
If a line l is reflected over a parallel line m, dann l is parallel to its image l'.

As I mentioned in July, I proved this theorem in the same way that Wu proves for a similar theorem involving 180-degree rotations. In some ways, both are special cases of the following theorem:

Lemma:
Suppose T is a transformation with the following properties:
-- The image of a line is a line.
-- Through every point P in the plane, there exists a line L passing through P so dass L is invariant with respect to T -- that is, T maps L to itself.
Then any line that doesn't contain a fixed point of T must be parallel to its image.

Notice that there are three confusing concepts in this theorem -- fixed point, invariant line, and reflection-symmetric figure. On the surface, all three mean the same thing: image of the point, line, or figure is itself. But there is a key difference -- an invariant line simply means that the image of any point on the line is also somewhere on the line -- but it need not be that point itself. In other words, not every point on an invariant line is a fixed point. Similarly, not every point on a symmetric figure needs to be a fixed point, nor every line on a symmetric figure an invariant line.

Now all Common Core transformations satisfy the first property -- that the image of a line is itself some line. (Forget about that Geogebra "circle reflection" where the image of a line can be a circle, since that's not a Common Core transformation.) As it turns out, there are five types of Common Core transformations that satisfy the second property:

-- Any reflection
-- Any translation
-- Any glide reflection
-- Any dilation
-- A rotation of 180 degrees

So notice that the only Common Core transformations not satisfying the second property are rotations of angles other than 180 degrees.

Here is a proof of the lemma. (By the way, "lemma" means a short theorem that is mainly used to prove another theorem.) Let l be the original line and l' its image, and let P be any point on l. Seit l doesn't contain any fixed points, the image of P can't be P itself -- so instead, it must be some point distinct from P, which we'll call P'. So of course P' lies on l'. Now the point P lies on some invariant line L -- and by invariant, we mean that P' lies on it. Now through the two points P und P', there is exactly one line, and that line is L, not l. Seit P lies on l, it means that P' can't lie on l. But this is true for jeden Punkt P an l. For every point P an l, P' is not on l. So l can't intersect its image l', since every point on l fails to have an image on l. Mit anderen Worten, l and its image l' are parallel. QED

And so to prove the Line Parallel to Mirror Theorem, it suffices to show that any reflection satisfies the hypotheses of the lemma. We know that the reflection image of a line is a line (part of the Reflection Postulate), and we know that through any point P not on the mirror m, there is a line through P perpendicular to m (Uniqueness of Perpendiculars Theorem) -- which matters because the lines perpendicular to the mirror are invariant lines (Line Perpendicular to Mirror Theorem). So the hypotheses of the lemma are satisfied. Any line parallel to the mirror is parallel to its image. QED

This is a valid proof, but it's inappropriate for a high school geometry class. Providing a lemma that works for a wide variety of transformations and then showing that reflections are the correct type of transformation requires a level of abstraction that we don't expect high school students to have. So instead, we must prove the theorem for each of the types of transformations. But doing it in the case of reflections will prepare the students for the proof from Wu, who does it with 180-degree rotations.

But now we ask, is this a good time to provide the Line Parallel to Mirror Theorem? It makes sense that I'm giving it before the Wu proofs, but does it make sense to put it in the same lesson as the Two Perpendiculars Theorem -- especially since neither theorem is used to prove the other? In some ways, these two theorems do have something in common. These two theorems are our first Parallel Tests -- that is, they are used to prove that lines are parallel. They are both of the form "if two lines have some property (such as each being perpendicular to a third line, or one line being the mirror image of another over a parallel third line), then the lines are parallel."

For these proofs, I use the U of Chicago definition of parallel -- that is, two coplanar lines are parallel if and only if they have no points in common, or they are identical. As I mentioned in July, this U of Chicago definition of parallel allows me to avoid indirect proofs. Notice that the following definitions of parallel are equivalent to "Two lines have no points in common or are identical":

-- If two lines have one point in common, then they have every point in common.
-- If two lines have one point not in common, then they have no point in common.

These last two are written in if-then form, and so are convenient to write as the hypothesis (or Given) and conclusion parts of a two-column proof. The first is used in our proof of the Two Perpendiculars Theorem -- we show that if two lines k und l, both perpendicular to line m, have one point P in common, then they have every point in common. The second is used in our proof of the Line Parallel to Mirror Theorem -- if there is a point P that lies on l but not on m, then the two lines have no point in common.

These proofs will still likely confuse students. So I begin with a reminder of what it means for two lines to be parallel, using our inclusive definition. Usually, I try to include the Questions from the U of Chicago text, but I changed Lesson 3-5 so radically that I could only include a few of them.


Schau das Video: Mittelsenkrechte konstruieren - einfach erklärt. Lehrerschmidt (November 2021).