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5.5: Eins-zu-Eins und Onto-Transformationen


Lernziele

  1. Bestimmen Sie, ob eine lineare Transformation auf oder eins zu eins ist.

Sei (T:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) eine lineare Transformation. Wir definieren die Angebot oder Bild von (T) als die Menge der Vektoren von (mathbb{R}^{m}), die die Form (Tleft(vec{x} ight)) haben (äquivalent, (Avec{x})) für einige (vec{x}in mathbb{R}^{n}). Es ist üblich, (Tmathbb{R}^{n}), (Tleft(mathbb{R}^{n} ight)) oder (mathrm{Im}) zu schreiben. left( T ight)), um diese Vektoren zu bezeichnen.

Lemma (PageIndex{1}): Bereich einer Matrixtransformation

Sei (A) eine (m imes n)-Matrix, wobei (A_{1},cdots, A_{n}) die Spalten von (A.) bezeichne Dann gilt für einen Vektor (vec{x}=left [ egin{array}{c} x_{1} vdots x_{n} end{array} ight ]) in (mathbb{R} ^n),

[Avec{x}=sum_{k=1}^{n}x_{k}A_{k}]

Daher ist (Aleft(mathbb{R}^n ight)) die Sammlung aller Linearkombinationen dieser Produkte.

Nachweisen

Dies folgt aus der Definition der Matrixmultiplikation.

Dieser Abschnitt ist dem Studium von zwei wichtigen Charakterisierungen linearer Transformationen gewidmet, die als Eins-zu-Eins und weiter bezeichnet werden. Wir definieren sie jetzt.

Definition (PageIndex{1}): Eins zu Eins

Angenommen (vec{x}_1) und (vec{x}_2) sind Vektoren in (mathbb{R}^n). Eine lineare Transformation (T:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) heißt eins zu eins (oft geschrieben als (1-1)), wenn immer (vec{x}_1 eq vec{x}_2) folgt: [Tleft( vec{x}_1 ight ) eq T left(vec{x}_2 ight)]

Äquivalent, wenn (Tleft( vec{x}_1 ight) =Tleft( vec{x}_2 ight) ,) dann (vec{x}_1 = vec{x} _2). Somit ist (T) eins zu eins, wenn es niemals zwei verschiedene Vektoren zu demselben Vektor führt.

Die zweite wichtige Charakterisierung wird aufgerufen.

Definition (PageIndex{2}): Auf

Sei (T:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) eine lineare Transformation. Dann heißt (T) auf zu wenn immer (vec{x}_2inmathbb{R}^{m}) (vec{x}_1inmathbb{R}^{n}) existiert, so dass ( Tlinks(vec{x}_1 ight) = vec{x}_2.)

Wir nennen oft eine lineare Transformation, die eins zu eins ist und Injektion. Ebenso wird eine lineare Transformation, die auf ist, oft als a Surjektion.

Der folgende Satz ist ein wichtiges Ergebnis.

Satz (PageIndex{1}): Eins zu Eins

Sei (T:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) eine lineare Transformation. Dann ist (T) genau dann eins zu eins, wenn aus (T(vec{x}) = vec{0}) (vec{x}=vec{0}) folgt.

Nachweisen

Wir müssen hier zwei Dinge beweisen. Zuerst werden wir beweisen, dass, wenn (T) eins zu eins ist, dann (T(vec{x}) = vec{0}) impliziert, dass (vec{x}=vec{0 }). Zweitens zeigen wir, dass aus (T(vec{x})=vec{0}) (vec{x}=vec{0}) folgt, dass (T ) ist eins zu eins. Denken Sie daran, dass eine lineare Transformation die Eigenschaft hat, dass (T(vec{0}) = vec{0}).

Nehmen Sie zunächst an, dass (T) eins zu eins ist und betrachten Sie (T(vec{0})). [T(vec{0})=Tleft( vec{0}+vec{0} ight) =T(vec{0})+T(vec{0})] und addiert man also die additive Inverse von (T(vec{0})) auf beiden Seiten, sieht man (T(vec{0})=vec{0}). Wenn (T(vec{x})=vec{0}) muss (vec{x}=vec{0}) der Fall sein, weil gerade gezeigt wurde, dass (T( vec{0})=vec{0}) und (T) wird als eins zu eins angenommen.

Nehmen wir nun an, wenn (T(vec{x})=vec{0},), dann folgt (vec{x}=vec{0}.) Wenn (T(vec {v})=T(vec{u}),) dann [T(vec{v})-T(vec{u})=Tleft(vec{v}-vec{ u} ight) =vec{0}] was zeigt, dass (vec{v}-vec{u}=0). Mit anderen Worten, (vec{v}=vec{u}) und (T) ist eins zu eins.

Beachten Sie, dass dieser Satz besagt, dass wenn (A=left [ egin{array}{ccc} A_{1} & cdots & A_{n} end{array} ight ]) dann (A) ist genau dann eins zu eins, wenn immer dann, wenn [0 = sum_{k=1}^{n}c_{k}A_{k}] gilt, dass jeder Skalar (c_{k}=0) ist.

Betrachten wir nun ein Beispiel einer Eins-zu-Eins- und einer linearen Transformation.

Beispiel (PageIndex{1}): Eine Eins-zu-Eins- und Onto-Linear-Transformation

Angenommen [Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{rr} 1 & 1 1 & 2 end{ array} ight ] left [ egin{array}{r} x y end{array} ight ]] Dann gilt (T:mathbb{R}^{2} ightarrow mathbb{ R}^{2}) ist eine lineare Transformation. Ist (T) auf? Ist es eins zu eins?

Lösung

Denken Sie daran, dass (T) als Matrixmultiplikation ausgedrückt werden kann, wir wissen, dass (T) eine lineare Transformation ist. Wir beginnen mit einem Blick auf. Angenommen also (left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] in mathbb{R}^{2}.) Gibt es (left [ begin{array}{c} x y end{array} ight ] in mathbb{R}^2) mit (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] ?) Wenn ja, dann seit (left [ egin{array} {c} a b end{array} ight ]) ist ein beliebiger Vektor in (mathbb{R}^{2},) daraus folgt, dass (T) auf ist.

Diese Frage ist Ihnen bekannt. Sie fragt, ob es eine Lösung für die Gleichung [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c } x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ]] Dies ist dasselbe, als würde man nach einer Lösung für fragen das folgende Gleichungssystem. [egin{array}{c} x+y=a x+2y=b end{array}] Richten Sie die erweiterte Matrix ein und reduzieren Sie die Zeilen. [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 1 & a 1 & 2 & b end{array} ight ] ightarrow left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2a-b 0 & 1 & ba end{array} ight ] label{ontomatrix}] Sie können an dieser Stelle sehen, dass das System eine Lösung hat. Daher haben wir gezeigt, dass es für jedes (a, b) ein (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) mit ( Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ]) . Somit ist (T) auf.

Nun wollen wir wissen, ob (T) eins zu eins ist. Nach Satz [prop:onetoonematrizen] genügt es zu zeigen, dass aus (Avec{x}=0) (vec{x}=0) folgt. Betrachten Sie das System (Avec{x}=0) gegeben durch: [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]]

Dies ist das gleiche wie das durch given gegebene System

[egin{array}{c} x + y = 0 x + 2y = 0 end{array}]

Wir müssen zeigen, dass die Lösung dieses Systems (x = 0) und (y = 0) ist. Durch das Einrichten der erweiterten Matrix und die Zeilenreduzierung erhalten wir [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{array} ight ] ]

Dies sagt uns, dass (x = 0) und (y = 0) sind. Zurück zum ursprünglichen System bedeutet dies, dass wenn

[left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c} x y end{array } ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]]

dann [left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ] ]

Mit anderen Worten, (Avec{x}=0) impliziert, dass (vec{x}=0). Nach Proposition [prop:onetoonematrizen] ist (A) eins zu eins, also ist (T) auch eins zu eins.

Wir hätten auch sehen können, dass (T) eins zu eins aus unserer obigen Lösung für on ist. Wenn Sie sich die durch [ontomatrix] gegebene Matrix ansehen, können Sie sehen, dass es a einzigartig Lösung gegeben durch (x=2a-b) und (y=b-a). Daher gibt es nur einen Vektor, nämlich (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 2a-b ba end{array} ight ]) mit (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{ c} a b end{array} ight ]). Daher ist nach Definition [def:onetoone] (T) eins zu eins.

Beispiel (PageIndex{2}): An Onto Transformation

Sei (T:mathbb{R}^4mapstomathbb{R}^2) eine lineare Transformation definiert durch [Tleft[ egin{array}{c} ac d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ für alle } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] Beweisen Sie, dass (T) auf, aber nicht eins zu eins ist.

Lösung

Sie können beweisen, dass (T) tatsächlich linear ist.

Um zu zeigen, dass (T) auf ist, sei (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) ein beliebiger Vektor in (mathbb{R }^2). Nimmt man den Vektor (left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] in mathbb{R}^4), dann gilt [T left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x + 0 y + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]] Dies zeigt, dass (T) on ist.

Nach Satz [prop:onetoonematrizen] ist (T) genau dann eins zu eins, wenn aus (T(vec{x}) = vec{0}) folgt, dass (vec{x} = vec {0}). Beachten Sie, dass [T left [ egin{array}{r} 1 0 0 -1 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 1 + - 1 0 + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]] Es gibt einen von Null verschiedenen Vektor (vec{ x}) in (mathbb{R}^4) mit (T(vec{x}) = vec{0}). Daraus folgt, dass (T) nicht eins zu eins ist.

Die obigen Beispiele demonstrieren eine Methode, um zu bestimmen, ob eine lineare Transformation (T) eins zu eins oder auf eins ist. Es stellt sich heraus, dass die Matrix (A) von (T) diese Information liefern kann.

Satz (PageIndex{2}): Matrix einer Eins-zu-Eins- oder Onto-Transformation

Sei (T:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) eine durch die (m imes n)-Matrix (A) induzierte lineare Transformation. Dann ist (T) genau dann eins zu eins, wenn der Rang von (A) (n) ist. (T) ist genau dann auf, wenn der Rang von (A) (m) ist.

Betrachten Sie Beispiel [exa:ontotransformation]. Oben haben wir gezeigt, dass (T) auf, aber nicht eins zu eins ist. Wir können nun diesen Satz verwenden, um diese Tatsache über (T) zu bestimmen.

Beispiel (PageIndex{3}): Eine Onto-Transformation

Sei (T:mathbb{R}^4mapstomathbb{R}^2) eine lineare Transformation definiert durch [Tleft[ egin{array}{c} ac d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ für alle } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] Beweisen Sie, dass (T) auf, aber nicht eins zu eins ist.

Lösung

Mit Theorem [thm:matrixonetooneonto] können wir zeigen, dass (T) auf der Matrix von (T) steht, aber nicht eins zu eins. Denken Sie daran, dass wir, um die Matrix (A) von (T) zu finden, (T) auf jeden der Standardbasisvektoren (vec{e}_i) von (mathbb{R} ^4). Das Ergebnis ist die (2 imes 4) Matrix A gegeben durch [A = left [ egin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end{ array} ight ]] Glücklicherweise liegt diese Matrix bereits in reduzierter Zeilenstufenform vor. Der Rang von (A) ist (2). Daher ist nach dem obigen Satz (T) auf, aber nicht eins zu eins.

Denken Sie daran, dass, wenn (S) und (T) lineare Transformationen sind, wir ihre zusammengesetzte Bezeichnung (Scirc T) diskutieren können. Im Folgenden wird untersucht, was passiert, wenn sowohl (S) als auch (T) on sind.

Beispiel (PageIndex{4}): Zusammensetzung von Onto-Transformationen

Seien (T:mathbb{R}^kmapstomathbb{R}^n) und (S:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) lineare Transformationen. Wenn (T) und (S) auf sind, dann ist (S circ T) auf.

Lösung

Sei (vec{z}inmathbb{R}^m). Da (S) auf ist, existiert ein Vektor (vec{y}inmathbb{R}^n) mit (S(vec{y})=vec{z} ). Da (T) auf ist, existiert außerdem ein Vektor (vec{x}in mathbb{R}^k) mit (T(vec{x})=vec{y }). Also [vec{z} = S(vec{y}) = S(T(vec{x})) = (ST)(vec{x}),] zeigt, dass für jedes ( vec{z}in mathbb{R}^m) existiert und (vec{x}in mathbb{R}^k) so dass ((ST)(vec{x}) =vec{z}). Daher ist (S circ T) auf.

Das nächste Beispiel zeigt das gleiche Konzept in Bezug auf Eins-zu-Eins-Transformationen.

Beispiel (PageIndex{5}): Zusammengesetzte Eins-zu-Eins-Transformationen

Seien (T:mathbb{R}^kmapstomathbb{R}^n) und (S:mathbb{R}^nmapstomathbb{R}^m) lineare Transformationen. Beweisen Sie, dass, wenn (T) und (S) eins zu eins sind, (S circ T) eins zu eins ist.

Lösung

Um zu beweisen, dass (Scirc T) eins zu eins ist, müssen wir zeigen, dass für (S(T (vec{v})) = vec{0}) folgt, dass (vec {v} = vec{0}). Angenommen, (S(T(vec{v})) = vec{0}). Da (S) eins zu eins ist, folgt (T (vec{v}) = vec{0}). Da (T) eins zu eins ist, folgt (vec{v} = vec{0}). Daher ist (S circ T) eins zu eins.


Ich denke, dass Sie diese Frage beantworten können, wenn jemand bereit ist, die Terminologie zu erklären:

  • Was der Satz "eins zu eins" bedeutet.
  • Was ist der große Großbuchstabe $P$
  • Was das Wort "auf zu" bedeutet.
  • etc.

Was ist der große Großbuchstabe $P$ ?

Antwort: $P$ ist die Menge aller Polynome.

Was ist ein Polynom?

Einige Beispiele für Polynome sind unten gezeigt:

  • $f(x) = 56,4*x^9 16,78*x^4 + x + 99,1$
  • $g(x) = 5*x^3 16,78*x^2 + x + 1,6$
  • $h(x) = pi*x^100$
  • $i(x) = pi$
  • $j(x) = 0$
  • $k(x) = x$

Im Gegensatz zu den meisten Mathematikern finde ich Definition durch Beispiel sehr nützlich sein.

Ein Polynom ist eine Funktion ähnlich wie $5*x^<3>+x+<8>$ (keine Sinusfunktionen, nur $x$ potenziert)

Was tun? Eins zu eins und Auf zu bedeuten?

Angenommen, Sie haben eine Maschine.

Es gibt einen Satz gültiger Eingaben an die Maschine.

Es gibt einen Satz gültiger Ausgaben an die Maschine.

Angenommen, die einzigen Eingaben, die in die Maschine erlaubt sind, sind $-2$ , $-1$ , $ , 1$ und 2$

Holen Sie ein Stück Papier heraus. Drehe das Papier zur Seite und zeichne eine vertikale Linie in die Mitte des Papiers, sodass das Papier in zwei Hälften geschnitten wird.

Zeichnen Sie jede Eingabe in die Maschine links von der Linie.

Zeichnen Sie jede Ausgabe auf die Maschine rechts von der Linie.

Eine Eingabe-Ausgabe-Maschine ist "eins zu eins" wenn aus jedem Ausgabepunkt keine oder eine Linie herausschießt.

Wenn die Maschine $(x^2)$ ist, dann beachten Sie, dass die Eingaben $-2$ und 2$ die gleiche Ausgabe 4$ haben. Somit ist die $(x^2)$-Maschine NICHT "eins zu eins."

Die Formulierung "eins zu eins" kommt von einer Art impliziter Annahme, dass aus jedem Punkt in den Eingaben genau eine Zeile herauskommt. Wenn dies der Fall ist, wird jeder Punkt in der Eingabe genau einem Punkt in der Ausgabe zugeordnet. Es ist eine sehr eins-zu-eins-Beziehung.

Ein Beispiel für eine Eins-zu-Eins-Beziehung wären die Ehepaare in einem Dorf, sofern:

  • jeder Mann hat höchstens eine Frau.
  • jede Frau hat höchstens einen Mann.
  • alle sind verheiratet
    • Es gibt keine Junggesellen oder Junggesellinnen
    • Es gibt keine Single-Männer oder Single-Frauen

    Was bedeutet "*Onto"?

    Das Punkt- und Liniendiagramm ist aktiviert, wenn aus jedem rechten Punkt mindestens eine Linie hervorgeht.

    Eine Maschine mit Ein- und Ausgängen ist "auf zu" wenn es für eine Ausgabe mindestens eine Eingabe gibt, die diese Ausgabe erzeugt.

    Ein Verkaufsautomat älterer Bauart kann beispielsweise Zahlen-Buchstaben-Kombinationen (wie z 4E) bis hin zu Limonade. Angenommen, es gäbe eine Limonade (z. B. Dr. Pepper), bei der es keinen Buchstaben-Zahlen-Code (oder Knopf) gäbe, den ein Kunde eingeben könnte, um diese Marke Limonade zu erhalten. Das wäre ein Problem. Niemand würde es jemals kaufen. Die Limonade blieb jahrelang in der Maschine, bis sie die Maschine durch eine ersetzte, die eine Touchscreen-Oberfläche mit Bildern anstelle von Buchstaben und Zahlen hatte.

    Die Ableitung

    In Ihren Kommentaren haben Sie gesagt, dass Sie keine Infinitesimalrechnung gemacht haben.

    Sie wissen also wahrscheinlich nicht, was ein Derivat ist.

    Notiere dass der Derivat von $x^

    $ ist $x^<(p-1)>$

    • Multiplizieren Sie das neue Ding mit dem alten Exponenten.
    • Subtrahiere eins vom alten Exponenten, um den neuen Exponenten zu erhalten.

    Die Ableitung von $2*x^<7>$ ist beispielsweise $2*7x^<6>$

    Wenn Sie viele Dinge zusammenfügen, nehmen Sie die Ableitung jedes Stücks und fügen Sie die Stücke dann zusammen.

    Anti-Derivate

    Das Stammfunktion macht die Ableitung rückgängig.

    Es gibt viele $mathtt$ von $(x^

    )$ .
    Normalerweise ist $left( dfrac> + c ight)$ ist die Stammfunktion von $(x^

    )$ ,
    wobei $c$ eine beliebige alte Zahl ist, z. B. $25$ oder $31.662$

    Die Stammfunktion ist das Gegenteil der Ableitung.

    Die einzige Ausnahme ist $p = -1$ . In diesem Fall ist $x^p = dfrac<1>$

    Wenn $p = -1$ ist, ist die Ableitung von $x^p$ $log(vert x vert)$

    Erinnerung: Was war deine Hausaufgabenfrage

    Bestimmen Sie, ob die lineare Transformation $T$ eine Eins-zu-Eins-Transformation, auf oder keines ist.

    $T: P → P$ definiert durch $T(p) = p′$
    Für jedes Polynom $p$ ist $T(p)$ die Ableitung von $p$

    Umformulieren Sie Ihre Hausaufgabenübung

    Die Ableitungstransformation ist "eins zu eins" wenn (und nur wenn) es nicht zwei verschiedene Polynome $p$ und $q$ gibt, so dass $p′$ die Ableitung von $p$ und $p^$ die Ableitung von $q$ . ist

    Ist die Ableitungstransformation "eins zu eins"?

    Hinweis für "eins zu eins":
    Die Ableitung einer beliebigen Konstanten (z. B. $1$ , $2$ oder $pi$ ) ist null.
    Eine Stammfunktion von $ ist eine beliebige alte konstante Zahl, z. B. $59$

    Außerdem werden Sie gefragt, ob es für jedes Polynom $p^$ mindestens ein Polynom $p$ gibt, so dass die Ableitung von $p$ $p^$ ist? Wenn ja, dann ist die Ableitungstransformation "auf zu"


    Was ist zu tun?

    Glücklicherweise leben wir in einer Zeit, in der es heute eine Fülle von Optionen gibt, um unser Spiel zu erleichtern. Ich werde einige der Vor- und Nachteile einer Option ansprechen, über die Sie vielleicht nicht viel nachgedacht haben: Spielen mit einem GM und einem Einzelspieler, auch bekannt als One-to-One-Gaming.

    One-to-One-Gaming scheint in den letzten Jahren an Bedeutung zu gewinnen, mit der jüngsten Veröffentlichung von Pelgrane Press Cthulhu vertraulich, Sine Nomine Publishing Scharlachrote Helden, und Expeditious Retreat Press 1 zu 1 Abenteuer Linie für das Pathfinder-Rollenspiel, das mir in den Sinn kommt.

    Kelly und ich spielen regelmäßig eins zu eins (Gedanken aus der Gosse, wir reden hier über Würfel und Charakterblätter) und finden, dass es eine großartige Möglichkeit ist, Zeit miteinander zu genießen, aber es gibt auch ein paar Fallstricke zu beachten.


    Definition (Eins-zu-Eins-Transformationen)

    ist eins zu eins wenn für jeden Vektor

    Anmerkung

    Ein anderes Wort für eins zu eins ist injektiv.

    Hier sind einige äquivalente Möglichkeiten, dies zu sagen

    Hier sind einige äquivalente Möglichkeiten, dies zu sagen

    verfügt über mehr als eine Lösung

    Beispiel (Funktionen einer Variablen)
    Beispiel (Eine echte Worttransformation: Robotik)
    Theorem (Eins-zu-Eins-Matrixtransformationen)

    sei die zugehörige Matrixtransformation. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

    Nachweisen

    Die Aussagen 1, 2 und 3 sind Übersetzungen voneinander. Die Äquivalenz von 3 und 4 folgt aus dieser zentralen Beobachtung in Abschnitt 3.1: wenn

    hat nur eine Lösung, dann

    hat auch nur eine Lösung, oder sie ist inkonsistent. Die Äquivalenz von 4, 5 und 6 ist eine Folge dieser wichtigen Anmerkung in Abschnitt 3.2, und die Äquivalenz von 6 und 7 folgt aus der Tatsache, dass der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Spalten mit Pivots ist.

    Erinnere dich daran Äquivalent bedeutet, dass für eine gegebene Matrix entweder alle Aussagen gleichzeitig wahr oder alle falsch sind.

    Beispiel (Eine eins-zu-eins-Matrixtransformation)
    Beispiel (Eine Matrixtransformation, die nicht eins zu eins ist)
    Beispiel (Eine Matrixtransformation, die nicht eins zu eins ist)
    Beispiel (Eine Matrixtransformation, die nicht eins zu eins ist)

    Die vorherigen drei Beispiele lassen sich wie folgt zusammenfassen. Nehme an, dass

    ist eine Matrixtransformation, die nicht eins zu eins. Nach dem Satz gibt es eine nichttriviale Lösung von

    Dies bedeutet, dass der Nullraum von

    ist nicht der Nullraum. Alle Vektoren im Nullraum sind Lösungen von

    Wenn Sie einen Vektor ungleich Null berechnen

    im Nullraum (durch Zeilenreduzierung und Auffinden der parametrischen Form der Lösungsmenge von


    1 Antwort 1

    Anscheinend kann eine Person nicht mehr als einem Unternehmen angehören. So können Sie Primary zu einem Attribut von Person machen. Es reduziert die Modellkomplexität: Sie benötigen nur die One-to-Many-Assoziation. Es erhöht jedoch die Komplexität der Geschäftslogik: (1) Sie müssen den primären Kontakt erhalten bis

    was nicht so einfach ist wie das Lesen einer Navigationseigenschaft, und (2) Sie benötigen Logik, um sicherzustellen, dass nur eine Person primär ist.

    Wenn Sie das aktuelle Modell beibehalten möchten, sollten Sie zuerst die Firma und ihre Ansprechpartner speichern und dann in einer zweiten Transaktion den Hauptansprechpartner zuweisen. Wenn Sie dies in einer Transaktion tun, kann EF die beiden generierten Fremdschlüssel gleichzeitig setzen. Es muss zuerst Firma für den FK in Person und zuerst Person für den FK in Firma erstellt werden.


    5.5: Eins-zu-Eins und Onto-Transformationen

    Für Eltern

    Die Bereitstellung eines sicheren Internet-Erlebnisses für unsere Schüler hat im Anderson School District Five oberste Priorität. Chromebooks bieten Schülern einen gefilterten Zugriff auf eine Vielzahl von Internetressourcen. Die Chromebook-Verwaltungskonsole von Google Apps for Education ermöglicht es uns, Chromebooks und ihre Einstellungen aus der Ferne zu verwalten. Alle Lehrer in Anderson School District Five haben Zugriff auf das Google Classroom, das es Lehrern ermöglicht, einfach auf Schülerdokumente zuzugreifen und die Schüleraktivitäten während ihres Unterrichts über die Integration mit Dienstprogrammen von Drittanbietern zu überwachen.

    Mit der Verwaltungskonsole können wir auch Inhalte für Schüler filtern, die Chromebooks mit nach Hause nehmen.

    Bitte verwenden Sie die folgenden Links, um auf Ressourcen zuzugreifen, die Sie möglicherweise nützlich finden:


    5.5: Eins-zu-Eins und Onto-Transformationen

    Funktionen, Mappings, Maps, Transformationen, Operatoren. Onto, eins-zu-eins, surjektiv, injektiv, bijektiv, Identität, Produkt, inverse Funktionen. Gruppe von Transformationen auf einem Set. Permutation. Symmetrische Gruppe Sn.

    Def. Satz. Eine endliche oder unendliche Sammlung von völlig willkürlichen Objekten.

    1) Die Menge der Zahlen 1, 2, . , n

    2) Die Menge der unabhängigen Variablen x1, x2, . , xn

    3) Die Menge aller Punkte einer Ebene

    4) Die Menge aller Dreiecke in der Ebene

    5) Die Menge aller Flüsse in China.

    Def. Funktion (oder Mapping, Map, Transformation, Operator). Angenommen, jedem Element in einer Menge A ist auf die eine oder andere Weise ein eindeutiges Element einer Menge B zugewiesen. Wir nennen solche Zuweisungen a Funktion (oder Mapping, Map, Transformation, Operator). Wenn wir diese Zuweisungen mit f bezeichnen, schreiben wir

    was lautet “f ist eine Funktion von A in B”. Die Menge A heißt der Bereich von f und B heißt der Co-Bereich von f. Wenn die Funktion b ε B a ε A zuweist, sagen wir, dass b das Bild von a ist. Das Bild von a wird mit f(a) bezeichnet, was “f von a” lautet. Es wird genannt der Wert von f bei a oder das bild eines unter f . Das Element a heißt das Vorabbild von B. Wenn P eine Teilmenge von A ist, dann bezeichnet f(P) die Menge der Bilder der Elemente von P und ist Q eine Teilmenge von B, dann bezeichnet f -1 (Q) die Menge der Elemente von A, die in abgebildet werden Q. Wir nennen f(P) das Bild von P und f -1 (Q) das inverse Bild oder Urbild von Q.

    Syn. Mapping, Karte, Transformation, Operator

    In einer Funktion von einer Menge A in eine Menge B können mehrere Elemente von A alle in dasselbe Element in B abgebildet werden. In Fig. 1 bilden Elemente a und b beide in 1 ab. Auch kann die gesamte Menge B nicht abgedeckt werden. Siehe Abbildung 1.

    Umfang einer Funktion . Der Bereich einer Funktion besteht aus den Elementen der Co-Domäne, in die die Funktion abgebildet wird. Die Co-Domain besteht aus dem gesamten Satz von Elementen, in die gemappt wird. In Abb. 1 besteht der Bereich aus den Elementen 1, 2, 3 und 5, während die Co-Domäne aus der gesamten Menge B besteht. Der Bereich von

    wird mit f(A) bezeichnet. Beachten Sie, dass f(A) eine Teilmenge von B ist.

    Die Objekte der Mengen A und B können beliebig sein. Menge A könnte ganze Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Vektoren, Matrizen, Funktionen usw. darstellen. Ebenso für Menge B.

    1] Die Fläche eines Kreises ist eine Funktion des Radius der Sinus eines Winkels ist eine Funktion des Winkels der Logarithmus einer Zahl ist eine Funktion der Zahl. Der Ausdruck y = 3x 2 + 7 definiert y als Funktion von x, wobei angegeben wird, dass die Domäne (zum Beispiel) die Menge der reellen Zahlen ist.

    2] Die Matrixgleichung y = Ax wobei A eine mxn-Matrix ist und x und y Vektoren aus zwei verschiedenen Vektorräumen sind, definiert eine Funktion von einem Vektorraum in einen anderen. Die Domäne besteht aus dem Vektorraum V und die Co-Domäne besteht aus dem Vektorraum W mit x in V und y in W. Matrix A stellt die Funktion dar, die als “Operator” betrachtet werden kann, der auf einem Vektor operiert, um einen anderen zu erzeugen .

    ist eine Funktion, die einer im Intervall [0,1] definierten reellen Funktion f(x) eine reelle Zahl zuweist.

    Auf Funktion. Eine Funktion heißt “onto”, wenn jedes Element in Co-Domäne B das Abbild eines Elements in Domäne A ist. Mehrere Elemente von A können jedoch in dasselbe Element von B abgebildet werden. Siehe Abbildung 2.

    Syn. Surjektive Funktion, Surjektion.

    Eins-zu-eins-Funktion. Eine Funktion wird als “one-to-one” bezeichnet, wenn jedes Element der Domäne A in ein anderes Element der Co-Domäne B abgebildet wird. Verschiedene Elemente bilden unterschiedliche Elemente ab. Keine zwei Elemente werden in dasselbe Element abgebildet. Es kann jedoch sein, dass nicht der gesamte Satz von B abgedeckt ist. Siehe Abbildung 3

    Syn. Injektionsfunktion, Injektion.

    Bijektive Funktion. Eine Funktion, die sowohl eins zu eins als auch auf ist.

    Gleiche Funktionen. Wenn f und g Funktionen sind, die auf demselben Gebiet D definiert sind und wenn f(a) = g(a) für jedes a D ist, dann sind die Funktionen f und g gleich und wir schreiben f = g.

    Identitätsfunktion. Sei A eine beliebige Menge. Die Funktion f : A → A sei durch die Formel f(x) = x definiert, d. h. f weise jedem Element in A das Element selbst zu. Dann heißt f die Identitätsfunktion oder die Identitätstransformation auf A. Es ist die Funktion I : A → A, die jeden Punkt von A fest lässt.

    Konstante Funktion. Eine Funktion f von A in B heißt konstante Funktion, wenn jedem Element in A das gleiche Element b B zugewiesen ist. Mit anderen Worten, f: A → B ist eine konstante Funktion, wenn der Bereich von f nur aus einem besteht Element. Siehe Abbildung 4.

    Beispiel . Sei f : R → R definiert durch die Formel f(x) = 3. Dann ist f eine konstante Funktion, da jedem Element des Gebietes R 3 zugeordnet ist.

    Produktfunktion. Sei f eine Funktion von A in B und g eine Funktion von B, dem Co-Domänenbereich von f, in C. Siehe Abbildung 5. Sei a ein Element in A. Dann ist sein Bild f(a) in B das ist die Domäne von g. Dementsprechend finden wir das Bild von f(a) unter der Abbildung g, also g(f(a)). Wir haben also eine Regel, die jedem Element a A ein entsprechendes Element g(f(a)) C zuordnet. Mit anderen Worten, wir haben eine Funktion von A in C. Diese neue Funktion heißt Produktfunktion oder Kompositionsfunktion von f und g und wird bezeichnet durch

    Kurz gesagt, wenn f: A→ B und g: B → C dann definieren wir eine Funktion (g f): A → C by

    Hier wird ≡ verwendet, um per Definition gleich zu bedeuten.

    Assoziativität von Funktionsprodukten. Seien f: A → B, g: B → C und h: C → D.

    Dann können wir, wie in Abbildung 6 dargestellt, die Produktfunktion gf: A → C und dann die Funktion h (gf): A → D bilden.

    In ähnlicher Weise können wir, wie in Abbildung 7 dargestellt, die Produktfunktion hg: B → D und dann die Funktion (hg)f: A → D bilden.

    Sowohl (h(gf) als auch (hg)f sind Funktionen von A in D. Ein grundlegender Satz über Funktionen besagt, dass diese Funktionen gleich sind.

     f: A → B, g: B → C und h: C → D. Dann

    Somit gehorcht die Multiplikation von Funktionen dem Assoziativgesetz für die Multiplikation. Als Konsequenz dieses Satzes können wir schreiben we

    Def. Umkehrfunktion . Die Funktion, die die Wirkung einer gegebenen Funktion genau rückgängig macht. Sei f eine Funktion von A in B und g eine Funktion von B in A. Dann ist g eine Inverse von f, wenn gf = I wobei I die Identitätsfunktion ist. Somit macht g den Effekt von f rückgängig und lässt die Menge A unverändert. Wir bezeichnen die Inverse einer Funktion f mit f -1 . Wenn also die Funktion f eine Inverse f -1 besitzt, dann ist f -1 f = I.

    Existenz von Umkehrfunktionen . Eine Funktion f kann eine Inverse haben oder auch nicht. Wir haben gesehen, dass eine Funktion mehreren Elementen von A dasselbe Bild in B zuweisen kann. Siehe Abbildung 1 oben. Eine Funktion, die dies tut, kann keine Umkehrung haben. Es gibt keine Funktion, die diese Art der Zuordnung “rückgängig macht”. Funktionen sind per Definition einwertig. Damit für eine gegebene Funktion f eine Umkehrfunktion existiert, muss die Abbildung eins zu eins sein. Außerdem deckt eine Zuordnung möglicherweise nicht die gesamte Co-Domain ab. Dies verursacht ein zusätzliches Problem.

    Abbildungen einer Menge in sich selbst. Sei G eine Abbildung (oder Transformation) einer Menge S in sich selbst. Jedes Element a ∈ S wird in ein Element b ∈ S abgebildet. Mehrere Elemente von S können in dasselbe Element von S abgebildet werden und außerdem muss nicht jedes Element von S das Bild eines Elements von S sein. Es ist ersichtlich, dass G nicht unbedingt entweder auf oder eins zu eins ist.

    Beispiele für diese Art der Abbildung sind in der Mathematik üblich. Funktionen wie y = 5x 3 und y = sin x repräsentieren Abbildungen aus der Menge der reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen.

    Sei J(S) die Menge aller möglichen Abbildungen von G auf der endlichen Menge S = <>1, ein2, . , einn). Dann enthält J(S) n n Elemente, da jedes Element aich ∈ S kann auf jedes der n Elemente a abgebildet werden1, ein2, . , einn.

    Jede Abbildung G einer endlichen Menge S kann durch eine Tabelle gegeben werden, die aus zwei Zeilen besteht, wobei die obere Zeile aus den Namen der Elemente von S in beliebiger Reihenfolge und die zweite Zeile aus den Bildern der Elemente darüber besteht elements . Beispielsweise

    bezeichnet die Transformation der Zahlenmenge 1, 2, 3, 4, bei der die Zahlen 1, 2, 3, 4 jeweils in die Zahlen 2, 4, 1, 3 übergehen. Die Reihenfolge der Elemente in der obersten Reihe ist jedoch unerheblich, und

    Eins-zu-eins-Transformationen. Sei Gʹ eine Abbildung, die sowohl auf als auch eins zu eins ist. Sei O(S) die Menge aller möglichen Abbildungen von Gʹ auf Menge S = <>1, ein2, . , einn). Dann ist O(S) eine Teilmenge von J(S) .

    Satz 1. O(S) ist bezüglich der Transformationsmultiplikation abgeschlossen.

    Satz 2. Für eine Transformation T ∈ O(S) ,

    wobei ich die Identitätstransformation ist.

    Betrachten wir nun ein wichtiges Konzept, das Konzept von a Gruppe von Transformationen. Der Begriff “Transformation” bedeutet dasselbe wie Funktion. Die Begriffe werden synonym verwendet.

    Def. Gruppe von Transformationen auf einer Menge S . Jede Menge G von Eins-zu-Eins-Transformationen (d. h. Funktionen) einer Menge S auf sich selbst, die die axiomatischen Bedingungen erfüllt, um eine Gruppe zu sein, d.

    1) Abschluss (wenn die Transformationen f und g in G sind, ist es auch ihr Produkt fg)

    2) Es gilt das Assoziativgesetz, d. h. f(gh) = (fg)h

    3) Existenz eines Identitätselements

    4) Existenz von Inversen, d. h. wenn die Transformation f in G ist, ist auch ihre Inverse f -1

    Beachten Sie, dass Gruppe G entweder eine endliche Gruppe oder eine unendliche Gruppe sein kann. Dazu wird keine Vorgabe gemacht.

    Betrachten Sie nun folgende wichtige Menge: die Menge aller möglichen Permutationen einer Menge S von n Objekten auf sich selbst. Es erfüllt alle axiomatischen Anforderungen einer Gruppe.

    Def. Permutation. Eine Operation, die eine Menge von n Objekten durch eines ihrer n ersetzt! Permutationen.

    Def. Symmetrische Gruppe Sn auf n Buchstaben. Die Gruppe aller möglichen Permutationen auf n Objekten.

       Lippenschutz. Mengenlehre. Kerl. 4

       Lipchutz. Lineare Algebra. P. 121

       James und James. Mathematik Wörterbuch

       Birkhoff, MacLane. Ein Überblick über die moderne Algebra. P. 119 - 123


    Inhalt

    Für eine Paarung zwischen x und Ja (wo Ja muss nicht anders sein als x) um eine Bijektion zu sein, müssen vier Eigenschaften gelten:

    1. jedes Element von x muss mit mindestens einem Element von gepaart sein Ja,
    2. kein Element von x kann mit mehr als einem Element von gepaart werden Ja,
    3. jedes Element von Ja muss mit mindestens einem Element von gepaart sein x, und
    4. kein Element von Ja kann mit mehr als einem Element von gepaart werden x.

    Erfüllende Eigenschaften (1) und (2) bedeutet, dass eine Paarung eine Funktion mit Domäne x. Es ist üblicher, die Eigenschaften (1) und (2) als eine einzige Aussage geschrieben zu sehen: Jedes Element von x ist gepaart mit genau einem Element von Ja. Funktionen, die die Eigenschaft (3) erfüllen, heißen "onto Ja " und heißen Surjektionen (oder surjektive Funktionen). Funktionen, die die Eigenschaft (4) erfüllen, heißen "Eins-zu-Eins-Funktionen" und heißen Injektionen (oder injektive Funktionen). [3] Mit dieser Terminologie ist eine Bijektion eine Funktion, die sowohl eine Surjektion als auch eine Injektion ist, oder mit anderen Worten, eine Bijektion ist eine Funktion, die sowohl "eins zu eins" als auch "auf" ist. [1] [4]

    Schlagaufstellung eines Baseball- oder Cricketteams Bearbeiten

    Consider the batting line-up of a baseball or cricket team (or any list of all the players of any sports team where every player holds a specific spot in a line-up). The set x will be the players on the team (of size nine in the case of baseball) and the set Ja will be the positions in the batting order (1st, 2nd, 3rd, etc.) The "pairing" is given by which player is in what position in this order. Property (1) is satisfied since each player is somewhere in the list. Property (2) is satisfied since no player bats in two (or more) positions in the order. Property (3) says that for each position in the order, there is some player batting in that position and property (4) states that two or more players are never batting in the same position in the list.

    Seats and students of a classroom Edit

    In a classroom there are a certain number of seats. A bunch of students enter the room and the instructor asks them to be seated. After a quick look around the room, the instructor declares that there is a bijection between the set of students and the set of seats, where each student is paired with the seat they are sitting in. What the instructor observed in order to reach this conclusion was that:

    1. Every student was in a seat (there was no one standing),
    2. No student was in more than one seat,
    3. Every seat had someone sitting there (there were no empty seats), and
    4. No seat had more than one student in it.

    The instructor was able to conclude that there were just as many seats as there were students, without having to count either set.

    • For any set x, the identity function1x: xx, 1x(x) = x is bijective.
    • Die Funktion F: RR, F(x) = 2x + 1 is bijective, since for each ja there is a unique x = (ja − 1)/2 such that F(x) = ja. More generally, any linear function over the reals, F: RR, F(x) = ax + B (where ein is non-zero) is a bijection. Each real number ja is obtained from (or paired with) the real number x = (jaB)/ein.
    • Die Funktion F: R → (−π/2, π/2), given by F(x) = arctan(x) is bijective, since each real number x is paired with exactly one angle ja in the interval (−π/2, π/2) so that tan(ja) = x (that is, ja = arctan(x)). If the codomain (−π/2, π/2) was made larger to include an integer multiple of π/2, then this function would no longer be onto (surjective), since there is no real number which could be paired with the multiple of π/2 by this arctan function.
    • The exponential function, g: RR, g(x) = e x , is not bijective: for instance, there is no x In R so dass g(x) = −1, showing that g is not onto (surjective). However, if the codomain is restricted to the positive real numbers R + ≡ ( 0 , + ∞ ) ^<+>equiv left(0,,+infty ight)> , then g would be bijective its inverse (see below) is the natural logarithm function ln.
    • Die Funktion h: RR + , h(x) = x 2 is not bijective: for instance, h(−1) = h(1) = 1, showing that h is not one-to-one (injective). However, if the domain is restricted to R 0 + ≡ [ 0 , + ∞ ) _<0>^<+>equiv left[0,,+infty ight)> , then h would be bijective its inverse is the positive square root function.
    • By Cantor-Bernstein-Schroder theorem, given any two sets x und Ja, and two injective functions F: X → Y und g: Y → X, there exists a bijective function h: X → Y.

    A bijection F with domain x (indicated by F: X → Y in functional notation) also defines a converse relation starting in Ja and going to x (by turning the arrows around). The process of "turning the arrows around" for an arbitrary function does not, in general, yield a function, but properties (3) and (4) of a bijection say that this inverse relation is a function with domain Ja. Moreover, properties (1) and (2) then say that this inverse function is a surjection and an injection, that is, the inverse function exists and is also a bijection. Functions that have inverse functions are said to be invertible. A function is invertible if and only if it is a bijection.

    Stated in concise mathematical notation, a function F: X → Y is bijective if and only if it satisfies the condition

    for every ja In Ja there is a unique x In x mit ja = F(x).

    Continuing with the baseball batting line-up example, the function that is being defined takes as input the name of one of the players and outputs the position of that player in the batting order. Since this function is a bijection, it has an inverse function which takes as input a position in the batting order and outputs the player who will be batting in that position.


    5.5: One-to-One and Onto Transformations

    5 Now when Jesus saw the crowds, he went up on a mountainside and sat down. His disciples came to him, 2 and he began to teach them.

    The Beatitudes (A)

    3 “Blessed are the poor in spirit,
    for theirs is the kingdom of heaven. (B)
    4 Blessed are those who mourn,
    for they will be comforted. (C)
    5 Blessed are the meek,
    for they will inherit the earth. (D)
    6 Blessed are those who hunger and thirst for righteousness,
    for they will be filled. (E)
    7 Blessed are the merciful,
    for they will be shown mercy. (F)
    8 Blessed are the pure in heart, (G)
    for they will see God. (H)
    9 Blessed are the peacemakers, (I)
    for they will be called children of God. (J)
    10 Blessed are those who are persecuted because of righteousness, (K)
    for theirs is the kingdom of heaven. (L)

    11 “Blessed are you when people insult you, (M) persecute you and falsely say all kinds of evil against you because of me. (N) 12 Rejoice and be glad, (O) because great is your reward in heaven, for in the same way they persecuted the prophets who were before you. (P)

    Salt and Light

    13 “You are the salt of the earth. But if the salt loses its saltiness, how can it be made salty again? It is no longer good for anything, except to be thrown out and trampled underfoot. (Q)

    14 “You are the light of the world. (R) A town built on a hill cannot be hidden. 15 Neither do people light a lamp and put it under a bowl. Instead they put it on its stand, and it gives light to everyone in the house. (S) 16 In the same way, let your light shine before others, (T) that they may see your good deeds (U) and glorify (V) your Father in heaven.

    The Fulfillment of the Law

    17 “Do not think that I have come to abolish the Law or the Prophets I have not come to abolish them but to fulfill them. (W) 18 For truly I tell you, until heaven and earth disappear, not the smallest letter, not the least stroke of a pen, will by any means disappear from the Law until everything is accomplished. (X) 19 Therefore anyone who sets aside one of the least of these commands (Y) and teaches others accordingly will be called least in the kingdom of heaven, but whoever practices and teaches these commands will be called great in the kingdom of heaven. 20 For I tell you that unless your righteousness surpasses that of the Pharisees and the teachers of the law, you will certainly not enter the kingdom of heaven. (Z)

    Murder (AA)

    21 “You have heard that it was said to the people long ago, ‘You shall not murder, [a] (AB) and anyone who murders will be subject to judgment.’ 22 But I tell you that anyone who is angry (AC) with a brother or sister [b] [c] will be subject to judgment. (AD) Again, anyone who says to a brother or sister, ‘Raca,’ [d] is answerable to the court. (AE) And anyone who says, ‘You fool!’ will be in danger of the fire of hell. (AF)

    23 “Therefore, if you are offering your gift at the altar and there remember that your brother or sister has something against you, 24 leave your gift there in front of the altar. First go and be reconciled to them then come and offer your gift.

    25 “Settle matters quickly with your adversary who is taking you to court. Do it while you are still together on the way, or your adversary may hand you over to the judge, and the judge may hand you over to the officer, and you may be thrown into prison. 26 Truly I tell you, you will not get out until you have paid the last penny.

    Adultery

    27 “You have heard that it was said, ‘You shall not commit adultery.’ [e] (AG) 28 But I tell you that anyone who looks at a woman lustfully has already committed adultery with her in his heart. (AH) 29 If your right eye causes you to stumble, (AI) gouge it out and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to be thrown into hell. 30 And if your right hand causes you to stumble, (AJ) cut it off and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to go into hell.

    Divorce

    31 “It has been said, ‘Anyone who divorces his wife must give her a certificate of divorce.’ [f] (AK) 32 But I tell you that anyone who divorces his wife, except for sexual immorality, makes her the victim of adultery, and anyone who marries a divorced woman commits adultery. (AL)

    Oaths

    33 “Again, you have heard that it was said to the people long ago, ‘Do not break your oath, (AM) but fulfill to the Lord the vows you have made.’ (AN) 34 But I tell you, do not swear an oath at all: (AO) either by heaven, for it is God’s throne (AP) 35 or by the earth, for it is his footstool or by Jerusalem, for it is the city of the Great King. (AQ) 36 And do not swear by your head, for you cannot make even one hair white or black. 37 All you need to say is simply ‘Yes’ or ‘No’ (AR) anything beyond this comes from the evil one. [g] (AS)

    Eye for Eye

    38 “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ [h] (AT) 39 But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also. (AU) 40 And if anyone wants to sue you and take your shirt, hand over your coat as well. 41 If anyone forces you to go one mile, go with them two miles. 42 Give to the one who asks you, and do not turn away from the one who wants to borrow from you. (AV)

    Love for Enemies

    43 “You have heard that it was said, ‘Love your neighbor [i] (AW) and hate your enemy.’ (AX) 44 But I tell you, love your enemies and pray for those who persecute you, (AY) 45 that you may be children (AZ) of your Father in heaven. He causes his sun to rise on the evil and the good, and sends rain on the righteous and the unrighteous. (BA) 46 If you love those who love you, what reward will you get? (BB) Are not even the tax collectors doing that? 47 And if you greet only your own people, what are you doing more than others? Do not even pagans do that? 48 Be perfect, therefore, as your heavenly Father is perfect. (BC)


    Section 3.6 The Invertible Matrix Theorem ¶ permalink

    This section consists of a single important theorem containing many equivalent conditions for a matrix to be invertible. This is one of the most important theorems in this textbook. We will append two more criteria in Section 5.1.

    Invertible Matrix Theorem

    be the matrix transformation

    The following statements are equivalent:

    has a unique solution for each

    Nachweisen

    pivots if and only if its reduced row echelon form is the identity matrix

    This happens exactly when the procedure in Section 3.5 to compute the inverse succeeds.

    The null space of a matrix is

    if and only if the matrix has no free variables, which means that every column is a pivot column, which means

    These follow from this recipe in Section 2.5 and this theorem in Section 2.3, respectively, since

    pivots if and only if has a pivot in every row/column.

    has at least one solution for every

    if and only if the columns of

    has at most one solution for every

    if and only if the columns of

    are linearly independent by this theorem in Section 3.2. Hence

    has exactly one solution for every

    if and only if its columns are linearly independent and span

    This is the content of this theorem in Section 3.5.

    To reiterate, the invertible matrix theorem means:

    There are two kinds of Platz matrices:

    For invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are true.

    For non-invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are false.

    The reader should be comfortable translating any of the statements in the invertible matrix theorem into a statement about the pivots of a matrix.

    Other Conditions for Invertibility

    The following conditions are also equivalent to the invertibility of a square matrix

    They are all simple restatements of conditions in the invertible matrix theorem.


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