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Trigonometrie


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Hallo! Könnte mir bitte jemand helfen diese Frage zu lösen? Es fragt nach dem Sinus von Theta und die Antwort ist C, aber ich weiß nicht, wie ich es herausfinden soll.

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Geopolitik ist dein Sandkasten

Hilfe bitte

Hallo! ich benötige Hilfe bei folgender Frage:

In einem Dreieck ABC (rechter Winkel in B) mit tan(A) = 3sec(C) lösen Sie E = (sec^2(A) –3csc(C))^(1/2).

Die Antwort ist 1, aber ich weiß nicht, wie ich es lösen soll.

Wie kann ich meinen Taschenrechner richtig zum Laufen bringen?

Ich habe mir ein YouTube-Video zu diesem Thema angeschaut und meinen Taschenrechner benutzt, um den Dreh raus zu bekommen.

Die Person im Video hat cos-1 (0,71) gemacht und 45,1 bekommen. Als ich es tat, bekam ich 49,7

Ähnliches geschah, als sie sin-1 (0,314) taten. Sie haben 18,3 und ich 20,3 bekommen.


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Winkel

Im Zentrum des Studiums der Trigonometrie steht das Konzept des Winkels. Ein Winkel ist definiert als eine geometrische Figur, die durch zwei Linien erzeugt wird, die von demselben Punkt, dem sogenannten Scheitelpunkt, gezogen werden. Die Linien werden als Seiten eines Winkels bezeichnet und ihre Länge ist ein bestimmendes Merkmal eines Winkels. Ein weiteres Merkmal eines Winkels ist seine Messung oder Größe, die durch die Drehung um den Scheitelpunkt bestimmt wird, die erforderlich ist, um eine Seite auf die andere zu transponieren. Wenn eine Seite vollständig um den Punkt gedreht wird, wird die zurückgelegte Strecke als Umdrehung bezeichnet und der zurückgelegte Weg als Kreis.

Winkelmessungen werden normalerweise in Grad- oder Bogenmaßeinheiten angegeben. Die Gradeinheit, erfunden von den alten Babyloniern, teilt eine Umdrehung in 360 ° (Grad). Winkel, die größer als 360 ° sind, stellen eine Größe dar, die größer als eine Umdrehung ist. Radiant-Einheiten, die die Winkelgröße auf den Radius des Kreises beziehen, der durch eine Umdrehung gebildet wird, teilen eine Umdrehung in 2 π-Einheiten. Für die meisten theoretischen trigonometrischen Arbeiten ist der Bogenmaß die Haupteinheit der Winkelmessung.


Geschichte der Trigonometrie Übersicht

Aber die trigonometrische Version ist anders. Wenn Sie die Maße der beiden Winkel und die Länge der Seite zwischen ihnen haben, dann besteht das Problem darin, den verbleibenden Winkel (was einfach ist, ziehen Sie einfach die Summe der beiden Winkel von zwei rechten Winkeln ab) und die verbleibenden beiden Seiten zu berechnen (was schwierig ist). Die moderne Lösung der letzten Berechnung ist das Sinusgesetz. Details finden Sie auf Daves Short Trig Course, Oblique Triangles.

Alle trigonometrischen Berechnungen erfordern die Messung von Winkeln und die Berechnung einiger trigonometrischer Funktionen. Die modernen trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Kosinus, Tangens und ihre Kehrwerte, aber in der antiken griechischen Trigonometrie wurde der Akkord, eine intuitivere Funktion, verwendet.

Die Trigonometrie hängt natürlich von der Geometrie ab. Der Kosinussatz zum Beispiel folgt aus einem Satz der synthetischen Geometrie, nämlich den Sätzen II.12 und II.13 der Elemente. Daher haben Probleme der Trigonometrie neue Entwicklungen in der synthetischen Geometrie erforderlich gemacht. Ein Beispiel ist der Satz von Ptolemäus, der Regeln für die Akkorde der Summe und Differenz von Winkeln angibt, die den Summen- und Differenzformeln für Sinus und Kosinus entsprechen.

Die Hauptanwendung der Trigonometrie in vergangenen Kulturen, nicht nur im antiken Griechenland, ist die Astronomie. Die Berechnung von Winkeln in der Himmelssphäre erfordert eine andere Art von Geometrie und Trigonometrie als in der Ebene. Die Geometrie der Kugel wurde "Kugeln" genannt und bildete einen Teil des Quadriviums des Studiums. Verschiedene Autoren, darunter Euklid, schrieben Bücher über Sphären. Der aktuelle Name für das Thema ist "elliptische Geometrie". Die Trigonometrie entstand anscheinend, um Probleme zu lösen, die sich in der Kugelgeometrie stellen, anstatt Probleme in der ebenen Geometrie zu lösen. Somit ist die sphärische Trigonometrie so alt wie die ebene Trigonometrie.

Die Babylonier und Winkelmessung

Die Babylonier waren die ersten, die Koordinaten für Sterne gaben. Sie benutzten die Ekliptik als ihren Grundkreis in der Himmelssphäre, also der Kristallkugel der Sterne. Die Sonne bewegt sich auf der Ekliptik, die Planeten bewegen sich in der Nähe der Ekliptik, die Sternbilder des Tierkreises sind um die Ekliptik herum angeordnet und der Nordstern Polaris ist 90° von der Ekliptik entfernt. Die Himmelskugel dreht sich um die Achse durch den Nord- und Südpol. Die Babylonier maßen den Längengrad in Grad gegen den Uhrzeigersinn vom Frühlingspunkt vom Nordpol aus gesehen, und sie maßen den Breitengrad in Grad nördlich oder südlich von der Ekliptik.

Hipparchos von Nicäa (ca. 180 - ca. 125 v. u. Z.)

Zu den Fortschritten des Hipparchos in der Astronomie gehören die Berechnung des mittleren Mondmonats, Schätzungen der Größe und Entfernung von Sonne und Mond, Varianten der epizyklischen und exzentrischen Modelle der Planetenbewegung, ein Katalog von 850 Sternen (Längen- und Breitengrad relativ zu der Ekliptik) und die Entdeckung der Präzession der Tagundnachtgleichen und eine Messung dieser Präzession.

Laut Theon schrieb Hipparchos ein 12-Bücher-Werk über Akkorde im Kreis, das seitdem verschollen ist. Das wäre die erste bekannte Arbeit der Trigonometrie. Da das Werk nicht mehr existiert, ist fast alles daran Spekulation. Aber ein paar Dinge sind aus verschiedenen Erwähnungen in anderen Quellen bekannt, einschließlich einer anderen seiner eigenen. Es enthielt einige Längen von Akkorden, die verschiedenen Kreisbögen entsprachen, vielleicht eine Akkordtabelle. Außer diesen wenigen Informationsfetzen lassen sich andere aus dem Wissen ableiten, das von seinen Nachfolgern als bekannt angesehen wurde.

Akkorde als Grundlage der Trigonometrie

Die Sehne eines Winkels AOB wo Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises und EIN und B sind zwei Punkte auf dem Kreis, ist nur die Gerade AB. Akkorde sind durch die Formeln mit dem modernen Sinus und Cosinus verbunden

wo ein ist ein Winkel, D der Durchmesser und crd eine Abkürzung für Akkord.

Einige Eigenschaften von Akkorden konnten Hipparchos nicht entgangen sein, insbesondere in einem 12-bändigen Werk zu diesem Thema. Zum Beispiel würde eine Ergänzungswinkelformel sagen, dass wenn AOB und BOC Ergänzungswinkel sind, dann besagt der Satz von Thales, dass Dreieck ABC stimmt, also sagt der Satz des Pythagoras das Quadrat auf dem Akkord AB plus das Quadrat auf dem Akkord BC gleich dem Quadrat auf dem Durchmesser AC. Zusammengefasst mit einer modernen algebraischen Notation

crd 2 AOB + crd 2 BOC = D 2

wo D ist der Durchmesser des Kreises.

Hipparchos hat seine Akkordtabelle wahrscheinlich mit einer Halbwinkelformel und der ergänzenden Winkelformel konstruiert. Die Halbwinkelformel in Bezug auf Akkorde ist

krd 2 (T/2) = R(2R - crd (180° - T)

wo R ist der Radius des Kreises und T ist ein Winkel. Beginnend mit crd 60° = R, könnte Hippokrates mit Hilfe dieser Halbwinkelformel die Akkorde von 30°, 15° und 7 1/2° finden. Er konnte eine Akkordtabelle in Schritten von 7 1/2 ° vervollständigen, indem er crd 90 °, die Halbwinkelformel und die ergänzende Winkelformel verwendete.

Welche anderen Beziehungen zwischen den Akkorden verschiedener Winkel, die Hippokrates gekannt hätte, bleibt Spekulation.

Menelaos (ca. 100 u. Z.)

Sünde CE Sünde EA = Sünde CF Sünde FD Sünde BD Sünde BA
und
Sünde CA Sünde EA = Sünde CD Sünde FD Sünde BF Sünde SEIN


Er bewies dieses Ergebnis, indem er zuerst die ebene Version bewies und dann auf die Kugel "projizierte". Die Flugzeugversion sagt

CE EA = CF FD BD BA
und
CA EA = CD FD BF SEIN

Ptolemaios (ca. 100 - 178 u. Z.)

Satz von Ptolemäus

    Satz. Bei einem zyklischen Viereck (d. h. einem in einen Kreis einbeschriebenen Viereck) ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten.

AC BD = A B C D + n. Chr

Wann ANZEIGE ein Durchmesser des Kreises ist, dann sagt der Satz

crd AOC crd BSB = crd AOB crd KABELJAU + D crd BOC.

wo Ö ist der Mittelpunkt des Kreises und D der Durchmesser. Wenn wir nehmen ein Winkel sein AOB und B Winkel sein AOC, dann haben wir

crd B crd (180° - ein) = crd ein crd (180° - B) + D crd (B - ein)

was die Differenzformel ergibt

crd (B - ein) =  crd B crd (180° - ein) - crd ein crd (180° - B) D

Mit einer anderen Interpretation von ein und B, ergibt sich die Summenformel:

crd (B + ein) =  crd B crd (180° - ein) + crd ein crd (180° - B) D

Diese entsprechen natürlich den Summen- und Differenzformeln für Sinus.

Bewaffnet mit seinem Theorem konnte Ptolemäus seine Akkordtabelle von 1/2° bis 180° in Schritten von 1/2° vervollständigen.

Trigonometrie

Die Hauptinformationsquelle in dieser Gliederung ist Thomas Heathsath Eine Geschichte der griechischen Mathematik, Clarendon Press, Oxford, 1921, derzeit nachgedruckt von Dover, New York, 1981.


Trigonometrie-Tabelle

Die trigonometrische Tabelle besteht aus trigonometrischen Verhältnissen, die miteinander in Beziehung stehen - Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekante, Kotangens. Diese Verhältnisse werden, kurz gesagt, als sin, cos, tan, cosec, sec, cot geschrieben und werden für Standardwinkelwerte verwendet. Sie können das trigonometrische Tabellendiagramm verwenden, um mehr über diese Verhältnisse zu erfahren.

Trigonometrie-Formeln

Die grundlegenden Trigonometrieformeln sind:

  • sin &theta = Gegenseite/Hypotenuse
  • cos &theta = angrenzende Seite/Hypotenuse
  • tan &theta = gegenüberliegende Seite/benachbarte Seite

Die vollständige Liste der trigonometrischen Formeln mit trigonometrischen Verhältnissen und trigonometrischen Identitäten ist für einen einfachen Zugriff aufgeführt. Hier ist eine Liste aller trigonometrischen Formeln, die Sie lernen und überarbeiten können.


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Kostenlose Trigonometrie-Diagnosetests

High School Trigonometrie-Kurse führen die Schüler in verschiedene trigonometrische Identitäten, Eigenschaften und Funktionen im Detail ein. Studenten nehmen in der Regel Trigonometrie, nachdem sie vorherige Kursarbeiten in Algebra und Geometrie abgeschlossen haben, aber bevor sie Pre-Calculus und Calculus absolvieren. Die Informationen, die Studenten in der Trigonometrie lernen, helfen ihnen, in späteren Mathematikkursen auf höherem Niveau sowie in naturwissenschaftlichen Kursen wie Physik erfolgreich zu sein, in denen trigonometrische Funktionen verwendet werden, um bestimmte physikalische Phänomene zu modellieren.

Wie die Klassen Pre-Algebra, Algebra I und Algebra II konzentrieren sich die Trigonometry-Klassen auf Funktionen und Graphen. Die Trigonometrie untersucht insbesondere trigonometrische Funktionen und lehrt dabei, wie man Sinus-, Kosinus-, Sekanten-, Kosekans-, Tangens-, Kotangens-, Arcsin-, Arccos- und Arctan-Funktionen grafisch darstellt, Phasenverschiebungen durchführt und deren Perioden und Amplituden berechnet . Außerdem werden trigonometrische Operationen besprochen, und die Schüler lernen auch trigonometrische Gleichungen, einschließlich des Verstehens, Einrichtens und Faktorisierens von trigonometrischen Gleichungen, wie man einzelne trigonometrische Gleichungen sowie Systeme trigonometrischer Gleichungen löst, wie man trigonometrische Wurzeln findet und wie um die quadratische Formel auf trigonometrische Gleichungen anzuwenden.

Trigonometrische Identitäten werden auch in Trigonometrie-Kursen besprochen. Die Schüler lernen die Summen- und Produktidentitäten sowie die Identitäten von Umkehroperationen, quadrierten trigonometrischen Funktionen, halbierten Winkeln und verdoppelten Winkeln kennen. Die Studierenden lernen auch, mit Identitäten mit Winkelsummen, komplementären und ergänzenden Identitäten, pythagoräischen Identitäten sowie grundlegenden und definierenden Identitäten zu arbeiten.

Ein weiterer wichtiger Teil der Trigonometrie ist das Erlernen der Analyse bestimmter Arten von speziellen Dreiecken. Die Studierenden lernen, Winkel und Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken 30-60-90 und 45-45-90 nach dem Sinus- und Kosinusgesetz zu bestimmen sowie ähnliche Dreiecke zu identifizieren und Proportionen anhand der Proportionalität zu bestimmen.

Trigonometrie lehrt die Schüler auch die Einheitskreise und das Bogenmaß, wobei der Schwerpunkt auf der Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt liegt. Komplementäre, ergänzende und koterminale Winkel werden alle diskutiert. Dieser Fokus auf Winkel im Einheitskreis wird auch auf die Koordinatenebene übertragen, wenn Winkel in verschiedenen Quadranten untersucht werden.

Wie jetzt offensichtlich ist, haben viele Studenten große Bedenken, einen Trigonometriekurs zu belegen und mit ihm Schritt zu halten. Ressourcen wie die kostenlosen Trigonometrie-Übungstests von Varsity Tutors können ihnen helfen, jede Nervosität, die sie über den Kurs empfinden, in einen Prozess der aktiven Überprüfung zu lenken, der ihnen zugute kommt. Jeder Trigonometrie-Übungstest enthält ein Dutzend Multiple-Choice-Trigonometrie-Fragen, und jede Frage wird mit einer vollständigen Schritt-für-Schritt-Erklärung geliefert, um Schülern, die es vermissen, zu helfen, die getesteten Konzepte zu lernen. Die Fragen sind in Praxistests organisiert, die aus verschiedenen Themen stammen, die in der Trigonometrie gelehrt werden. Fragen sind auch nach Konzepten organisiert. Wenn sich ein Schüler also nur darauf konzentrieren möchte, Fragen zur Verwendung des Sinusgesetzes zu beantworten, machen dies konzeptionell organisierte Fragen möglich. Mit den kostenlosen Trigonometrie-Übungstests von Varsity Tutors&rsquo können Schüler Materialien üben, die sie schwierig finden, und ihre Angst vor Trigonometrie reduzieren.


Trigonometrie

In diesem Kurs lernen Sie alle Grundlagen der Trigonometrie, beginnend bei Quadrat eins: die Grundidee ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke. In den ersten Sequenzen dieses Kurses lernen Sie die Definitionen der gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sowohl aus geometrischer als auch aus algebraischer Sicht kennen.

In diesem Kurs beherrschen Sie die Trigonometrie, indem Sie herausfordernde Probleme lösen und mit animierten Grafiken interagieren, anstatt sich auf das Auswendiglernen zu verlassen. Darüber hinaus erfahren Sie, wie Sie Trigonometrie im Zusammenhang mit der Messung und Manipulation von Schallwellen und der Erstellung komplexer, künstlerischer Designs mit Polargraphing anwenden.

Interaktiv Quiz

Konzepte und Übungen

Einführung in die Trigonometrie

Beginnen Sie mit dem Sinus und entwickeln Sie die Anfänge der Trigonometrie.

Den Sinus erkunden

Verstehen Sie die Sinusfunktion und wie sie verwendet wird.

Den Sinus grafisch darstellen

Wie sieht der Graph der Sinusfunktion aus?

Denken in Polar

Verwenden Sie Entfernungen und Winkel, um Kreise zu zeichnen und neue Muster aufzudecken.

Die Funktionen der Trigonometrie

Lernen Sie die sechs grundlegenden Triggerfunktionen auf intuitive Weise.

Grad und Bogenmaß

Machen Sie sich mit zwei Möglichkeiten zum Messen eines Winkels vertraut.

Optional: Primer für griechische Buchstaben

Verwenden Sie dieses Tutorial, um sich mit griechischen Buchstaben vertraut zu machen, die in der Trigonometrie üblich sind.

Sinus und Cosinus

Erkunden Sie die grundlegenden Eigenschaften der beiden grundlegenden Trigonometriefunktionen.

Der Einheitskreis

Erstellen Sie ein Referenzwerkzeug, um den genauen Wert von Triggerfunktionen zu ermitteln.

Messung

Verwenden Sie Trigonometriefunktionen, um nach Seiten und Winkeln aufzulösen.

Rechtwinklige Dreiecke lösen

Wenden Sie an, was Sie über Sinus, Cosinus und Tangens gelernt haben, um fehlende Seiten von Dreiecken zu finden.

Auflösen nach Winkeln

Invertieren Sie Trigonometriefunktionen, um nach Winkeln statt nach Seiten aufzulösen.

Gesetz der Sinus

Berechnen Sie Seitenlängen und Winkelmaße für jedes Dreieck, nicht nur für rechtwinklige Dreiecke.


Trigonometrie

Nach erfolgreichem Abschluss der Acellus-Trigonometrie beherrschen die Studierenden die grundlegenden trigonometrischen Fähigkeiten, die für den Erfolg in der höheren Mathematik erforderlich sind. Die Schüler beherrschen den Einheitskreis, indem sie sich die Koordinaten verschiedener Schlüsselwinkel merken, um schnell die Seitenlängen gewöhnlicher rechtwinkliger Dreiecke zu bestimmen. Die Studierenden wissen, wie man Sinus, Kosinus, Tangens und deren Kehr- und Umkehrfunktionen verwendet, um unbekannte Seiten und Winkel rechtwinkliger Dreiecke zu bestimmen. Sie wissen, wie die Graphen dieser Funktionen aussehen und wie man sie übersetzt. Sie können Bogenlänge und Sektorfläche berechnen. Die Schüler werden sicher sein, verschiedene trigonometrische Formeln wie das Sinus- und das Kosinusgesetz sowie die Flächenformel für Dreiecke zu verwenden. Sie sind auch mit den trigonalen Identitäten vertraut und wissen, wie sie diese verwenden. Die Studierenden sind vertraut mit Vektoren und können Betrag und Richtung aus horizontalen und vertikalen Komponenten berechnen und umgekehrt. Sie wissen auch, wie man Vektoren sowohl geometrisch als auch algebraisch addiert. Die Schüler wissen, wie man trigonometrische Gleichungen löst. Während dieses Kurses sammeln die Teilnehmer Erfahrungen mit der Trigonometrie, um Probleme basierend auf realen Situationen zu lösen. Dieser Kurs wurde von der Internationalen Akademie der Wissenschaften entwickelt. Lern mehr

Umfang und Reihenfolge

Im Anschluss an diese Einheit werden den Studierenden die Zwischenprüfung und die Prüfung präsentiert.

Einheit 7 – Potenzen, Wurzeln und komplexe Zahlen In dieser Einheit werden Graphen von Sinus, Kosinus, Tangens, Sekante, Kosekans und Kotangens behandelt. Außerdem werden Amplituden-, Perioden-, horizontale und vertikale Übersetzungen sowie eine Übersicht über grafische Konzepte behandelt. Einheit 8 – Identitäten In dieser Einheit werden Identitäten überprüft und Kofunktions- und Negativwinkel-Identitäten sowie vereinfachte Ausdrücke diskutiert. Einheit 9 – Trignometrische Gleichungen lösen Diese Einheit behandelt das Kombinieren von Termen, Quadratwurzeln, Faktorisieren und Quadraten. Einheit 10 – Mehr Identitäten Diese Einheit enthält Summen- und Differenzformeln für Sinus, Cosinus und Tangens sowie Doppelwinkelformeln und Halbwinkelformeln. Einheit 11 – Problemlösung Diese Einheit behandelt Problemlösungen in der Trigonometrie.

Im Anschluss an diese Einheit werden den Studierenden die Abschlussprüfung und die Abschlussprüfung vorgelegt.


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