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8.7: Rationale Gleichungen - Mathematik


Rationale Gleichungen

Rationale Gleichungen

Wenn ein rationaler Ausdruck einem anderen rationalen Ausdruck gleichgesetzt wird, gilt a rationale Gleichung Ergebnisse.

Einige Beispiele für rationale Gleichungen sind die folgenden (außer Nummer 5):

Beispiel (PageIndex{1})

(dfrac{3x}{4} = dfrac{15}{2})

Beispiel (PageIndex{2})

(dfrac{x+1}{x-2} = dfrac{x-7}{x-3})

Beispiel (PageIndex{3})

(dfrac{5a}{2} = 10)

Beispiel (PageIndex{4})

(dfrac{3}{x} + dfrac{x-3}{x+1} = dfrac{6}{5x})

Beispiel (PageIndex{5})

(dfrac{x-6}{x+1}) ist ein rationales Ausdruck, keine rationale Gleichung.

Die Logik hinter dem Prozess

Es erscheint am vernünftigsten, dass eine Gleichung ohne Brüche leichter zu lösen wäre als eine Gleichung mit Brüchen. Unser Ziel ist es also, jede rationale Gleichung in eine Gleichung umzuwandeln, die keine Brüche enthält. Dies ist problemlos möglich.

Um diese Methode zu entwickeln, betrachten wir die rationale Gleichung

(dfrac{1}{6} + dfrac{x}{4} = dfrac{17}{12})

Die LCD ist 12. Wir wissen, dass wir beide Seiten einer Gleichung mit derselben Größe ungleich Null multiplizieren können, also multiplizieren wir beide Seiten mit der LCD 12.

(12(dfrac{1}{6} + dfrac{x}{4}) = 12 cdot dfrac{17}{12})

Verteilen Sie nun 12 auf jeden Term auf der linken Seite, indem Sie die Verteilungseigenschaft verwenden.

(12 cdot dfrac{1}{6} + 12 cdot dfrac{x}{4} = 12 cdot dfrac{17}{12})

Nun dividiere, um alle Nenner zu eliminieren.

(egin{array}{flushleft}
2 cdot 1 + 3 cdot x &= 17
2 + 3x &= 17
end{array})

Jetzt gibt es keine Brüche mehr und wir können diese Gleichung mit unseren vorherigen Techniken lösen, um 5 als Lösung zu erhalten.

Der Prozess

Wir haben die Bruchgleichung gelöscht, indem wir beide Seiten mit dem LCD multipliziert haben. Diese Entwicklung erzeugt die folgende Regel.

Eine Gleichung von Brüchen löschen

Um eine Bruchgleichung zu löschen, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem LCD.

Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit dem LCD multiplizieren, verwenden wir die Verteilungseigenschaft, um das LCD auf jeden Term zu verteilen. Dies bedeutet, dass wir die obige Regel vereinfachen können.

Eine Gleichung von Brüchen löschen

Um eine Bruchgleichung zu löschen, multiplizieren Sie jeden Term auf beiden Seiten der Gleichung durch das LCD.

Die vollständige Methode zum Lösen einer rationalen Gleichung ist

1. Bestimmen Sie alle Werte, die von der Betrachtung ausgeschlossen werden müssen, indem Sie die Werte finden, die im Nenner Null ergeben (und somit durch Null dividieren). Diese ausgeschlossenen Werte liegen nicht im Bereich der Gleichung und werden Nichtbereichswerte genannt.

2. Löschen Sie die Bruchgleichung, indem Sie jeden Term mit dem LCD multiplizieren.

3. Lösen Sie diese nicht gebrochene Gleichung nach der Variablen. Prüfen Sie, ob eine dieser möglichen Lösungen ausgeschlossene Werte sind.

4. Überprüfen Sie die Lösung durch Substitution.

Fremdlösungen

Fremdlösungen

Mögliche Lösungen, die ausgeschlossen wurden, weil sie einen Ausdruck undefiniert machen (oder eine falsche Aussage für eine Gleichung erzeugen) heißen Fremdlösungen. Überflüssige Lösungen werden verworfen. Wenn es keine anderen möglichen Lösungen gibt, hat die Gleichung keine Lösung.

Musterset A

Lösen Sie die folgenden rationalen Gleichungen.

Beispiel (PageIndex{6})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3x}{4} &= dfrac{15}{2} & ext{ Da die Nenner Konstanten sind, gibt es keine ausgeschlossenen Werte.}
&& ext{ Es dürfen keine Werte ausgeschlossen werden. Das LCD ist 4. Multiplizieren Sie jeden Begriff mit 4}
4 cdot dfrac{3x}{4} &= 4 cdot dfrac{15}{2}
cancel{4} cdot dfrac{3x}{cancel{4}} &= _{cancel{4}}^{2} cdot dfrac{15}{cancel{2}}
3x &= 2 cdot 15
3x &= 30
x &= 10 & 10 ext{ ist kein ausgeschlossener Wert. Überprüfen Sie es als Lösung}.
end{array})

Prüfen:

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3x}{4} &= dfrac{15}{2}
dfrac{3(10)}{4} &= dfrac{15}{2} & ext{ Ist das richtig? }
dfrac{30}{4} &= dfrac{15}{2} & ext{ Stimmt das? }
dfrac{15}{2} &= dfrac{15}{2} & ext{ Ja, das ist richtig }
end{array})

Beispiel (PageIndex{7})

(egin{ausgerichtet}
dfrac{4}{x-1} &= dfrac{2}{x+6} & 1 ext{ und } -6 ext{ sind Nichtbereichswerte. Aus der Lösung ausschließen}
&& ext{Das LCD ist } (x-1)(x+6) ext{ Multipliziere jeden Begriff mit dem LCD }
(x-1)(x+6) cdot dfrac{4}{x-1} &= (x-1)(x+6) cdot dfrac{2}{x+6}
cancel{(x-1)}(x+6) cdot dfrac{4}{cancel{x-1}} &= (x-1)cancel{(x+6)} cdot dfrac {2}{Abbrechen{x+6}}
4(x+6) &= 2(x-1) & ext{ Löse diese nicht gebrochene Gleichung }
4x + 24 &= 2x - 2
2x &= -26
x &= -13 & -13 ext{ ist kein ausgeschlossener Wert. Überprüfen Sie es als Lösung}
end{ausgerichtet})

Prüfen:

(egin{array}{flushleft}
dfrac{4}{x-1} &= dfrac{2}{x+6}
dfrac{4}{-13-1} &= dfrac{2}{-13 + 6} & ext{ Stimmt das?}
dfrac{4}{-14} &= dfrac{2}{-7} & ext{ Stimmt das?}
dfrac{2}{-7} &= dfrac{2}{-13 + 6} & ext{ Ja, das ist richtig }
end{array})

(-13) ist die Lösung.

Beispiel (PageIndex{8})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{4a}{a-4} &= 2 + dfrac{16}{a-4}. & 4 ext{ ist ein Nicht-Domänenwert. Von Berücksichtigung ausschließen}
&& ext{ Das LCD ist } a-4 ext{. Multiplizieren Sie jeden Begriff mit } a-4
(a-4) cdot dfrac{4a}{a-4} &= 2(a-4) + (a-4) cdot dfrac{16}{a-4}
cancel{(a-4)} cdot dfrac{4a}{cancel{a-4}} &= 2(a-4) + cancel{(a-4)} cdot dfrac{16} {Abbrechen{a-4}}
4a &= 2(a-4) + 16 & ext{ Löse diese nicht gebrochene Gleichung }
4a &= 2a - 8 + 16
4a &= 2a + 8
2a &= 8
ein &= 4
end{array})

Dieser Wert, (a = 4), wurde von der Betrachtung ausgeschlossen. Es ist nicht als Lösung zu betrachten. Es ist fremd. Da keine anderen möglichen Lösungen zu berücksichtigen sind, schließen wir, dass diese Gleichung keine Lösung.

Übungsset A

Lösen Sie die folgenden rationalen Gleichungen.

Übungsaufgabe (PageIndex{1})

(dfrac{2x}{5} = dfrac{x-14}{6})

Antworten

(x=−10)

Übungsaufgabe (PageIndex{2})

(dfrac{3a}{a-1} = dfrac{3a + 8})

Antworten

(a=−2)

Übungsaufgabe (PageIndex{3})

(dfrac{3}{y-3} + 2 = dfrac{y}{y-3})

Antworten

(y = 3) ist fremd, also keine Lösung.

Musterset B

Lösen Sie die folgenden rationalen Gleichungen.

Beispiel (PageIndex{9})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3}{x} + dfrac{4x}{x-1} &= dfrac{4x^2 + x + 5}{x^2 - x} & ext{ Faktoriere alle Nenner, um alle ausgeschlossenen zu finden Werte und das LCD }
&& ext{ Nicht-Domänenwerte sind } 0 ext{ und } 1. ext{ Schließen Sie sie von der Betrachtung aus. }
dfrac{3}{x} + dfrac{4x}{x-1} &= dfrac{4x^2 + x + 5}{x(x-1)} & ext{ Das LCD ist } x( x-1) ext{. Multipliziere jeden Term mit } x(x-1) ext{ und vereinfache }
end{array})
(cancel{x}(x-1) cdot dfrac{3}{cancel{x}} + x(cancel{x-1}) cdot dfrac{4x}{cancel{x- 1}} = cancel{x(x-1)} cdot dfrac{4x^2 + x + 5}{cancel{x(x-1)}}).
(egin{array}{flushleft}
3(x-1) + 4x cdot x &= 4x^2 + x + 5 & ext{ Löse diese nicht gebrochene Gleichung, um die möglichen Lösungen zu erhalten }
3x - 3 + 4x^2 &= 4x^2 + x + 5
3x - 3 &= x + 5
2x &= 8
x &= 4 & 4 ext{ ist kein ausgeschlossener Wert. Überprüfen Sie es als Lösung }
end{array})

Prüfen:

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3}{x} + dfrac{4x}{x-1} &= dfrac{4x^2 + x + 5}{x^2 - x}
dfrac{3}{4} + dfrac{4 cdot 4}{4-1} &= dfrac{4 cdot 4^2 + 4 + 5}{16 - 4} & ext{ Ist das richtig ? }
dfrac{3}{4} + dfrac{16}{3} &= dfrac{64 + 4 + 5}{12} & ext{ Stimmt das? }
dfrac{9}{12} + dfrac{64}{12} &= dfrac{73}{12} & ext{ Ist das richtig? }
dfrac{73}{12} &= dfrac{73}{12} & ext{ Ja, das ist richtig }
end{array})

(4) ist die Lösung.

Die Null-Faktor-Eigenschaft kann verwendet werden, um bestimmte Typen von rationalen Gleichungen zu lösen. Wir haben die Null-Faktor-Eigenschaft in Abschnitt 5.1 untersucht, und Sie erinnern sich vielleicht, dass sie besagt, dass, wenn (a) und (b) reelle Zahlen sind und (acdot b=0), dann entweder oder sowohl (a=0) als auch (b=0). Die Nullfaktoreigenschaft ist beim Lösen der folgenden rationalen Gleichung nützlich.

Beispiel (PageIndex{10})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3}{a^2} - dfrac{2}{a} &= 1 & ext{ Null ist ein ausgeschlossener Wert. }
&& ext{ Das LCD ist } a^2 ext{ Multiplizieren Sie jeden Term mit } a^2 ext{ und vereinfachen Sie }
cancel{a^2} cdot dfrac{3}{cancel{a^2}} - cancel{a^2} cdot dfrac{2}{cancel{a}} &= 1 cdot ein^2
3-2a &= a^2 & ext{ Löse diese nicht gebrochene quadratische Gleichung. Setzen Sie es gleich Null }
0 &= a^2 + 2a - 3
0 &= (a+3)(a-1)
a&= - 3, a = 1 & ext{ Überprüfe diese als Lösungen }
end{array})

Prüfen:

(egin{array}{flushleft}
ext{If } a = -3: & dfrac{3}{(-3)^2} - dfrac{2}{-3} &= 1 & ext{ Stimmt das? }
& dfrac{3}{9} + dfrac{2}{3} &= 1 & ext{ Stimmt das? }
& dfrac{1}{3} + dfrac{2}{3} &= 1 & ext{ Ist das richtig? }
& 1 &= 1 & ext{ Ja, das ist richtig }
& a &= -3 & ext{ Prüft und ist eine Lösung }
ext{If } a = 1: & dfrac{3}{(1)^2} - dfrac{2}{1} &= 1 & ext{ Stimmt das? }
& dfrac{3}{1} - dfrac{2}{1} &= 1 & ext{ Ist das richtig? }
& 1 &= 1 & ext{ Ja, das ist richtig. }
& a &= 1 & ext{ Prüft und ist eine Lösung }
end{array})

(-3) und (1) sind die Lösungen.

Übungsset B

Übungsaufgabe (PageIndex{4})

Löse die Gleichung (dfrac{a+3}{a-2} = dfrac{a+1}{a-1})

Antworten

(a = dfrac{1}{3})

Übungsaufgabe (PageIndex{5})

Löse die Gleichung (dfrac{1}{x-1} - dfrac{1}{x+1} = dfrac{2x}{x^2 - 1})

Antworten

Diese Gleichung hat keine Lösung. (x=1) ist fremd.

Abschnitt 7.6 Übungen

Lösen Sie für die folgenden Probleme die rationalen Gleichungen.

Übung (PageIndex{1})

(dfrac{32}{x} = dfrac{16}{3})

Antworten

(x = 6)

Übung (PageIndex{2})

(dfrac{54}{y} = dfrac{27}{4})

Übung (PageIndex{3})

(dfrac{8}{y} = dfrac{2}{3})

Antworten

(y=12)

Übung (PageIndex{4})

(dfrac{x}{28} = dfrac{3}{7})

Übung (PageIndex{5})

(dfrac{x + 1}{4} = dfrac{x-3}{2})

Antworten

(x = 7)

Übung (PageIndex{6})

(dfrac{a + 3}{6} = dfrac{a - 1}{4})

Übung (PageIndex{7})

(dfrac{y-3}{6} = dfrac{y + 1}{4})

Antworten

(y=−9)

Übung (PageIndex{8})

(dfrac{x-7}{8} = dfrac{x+5}{6})

Übung (PageIndex{9})

(dfrac{a + 6}{9} - dfrac{a-1}{6} = 0)

Antworten

(a=15)

Übung (PageIndex{10})

(dfrac{y + 11}{4} = dfrac{y + 8}{10})

Übung (PageIndex{11})

(dfrac{b + 1}{2} + 6 = dfrac{b- 4}{3})

Antworten

(b=−47)

Übung (PageIndex{12})

(dfrac{m+3}{2} + 1 = dfrac{m-4}{5})

Übung (PageIndex{13})

(dfrac{a - 6}{2} + 4 = -1)

Antworten

(a=−4)

Übung (PageIndex{14})

(dfrac{b + 11}{3} + 8 = 6)

Übung (PageIndex{15})

(dfrac{y - 1}{y + 2} = dfrac{y + 3}{y - 2})

Antworten

(y = -dfrac{1}{2})

Übung (PageIndex{16})

(dfrac{x + 2}{x - 6} = dfrac{x - 1}{x + 2})

Übung (PageIndex{17})

(dfrac{3m + 1}{2m} = dfrac{4}{3})

Antworten

(m=−3)

Übung (PageIndex{18})

(dfrac{2k + 7}{3k} = dfrac{5}{4})

Übung (PageIndex{19})

(dfrac{4}{x + 2} = 1)

Antworten

(x=2)

Übung (PageIndex{20})

(dfrac{-6}{x - 3} = 1)

Übung (PageIndex{21})

(dfrac{a}{3} + dfrac{10 + a}{4} = 6)

Antworten

(a=6)

Übung (PageIndex{22})

(dfrac{k + 17}{5} - dfrac{k}{2} = 2k)

Übung (PageIndex{23})

(dfrac{2b + 1}{3b - 5} = dfrac{1}{4})

Antworten

(b = -dfrac{9}{5})

Übung (PageIndex{24})

(dfrac{-3a + 4}{2a - 7} = dfrac{-7}{9})

Übung (PageIndex{25})

(dfrac{x}{x + 3} - dfrac{x}{x-2} = dfrac{10}{x^2 + x - 6})

Antworten

(x=−2)

Übung (PageIndex{26})

(dfrac{3y}{y-1} + dfrac{2y}{y-6} = dfrac{5y^2 - 15y + 20}{y^2 - 7y + 6})

Übung (PageIndex{27})

(dfrac{4a}{a+2} - dfrac{3a}{a-1} = dfrac{a^2 - 8a - 4}{a^2 + a - 2})

Antworten

(a=2)

Übung (PageIndex{28})

(dfrac{3a - 7}{a-3} = dfrac{4a - 10}{a - 3})

Übung (PageIndex{29})

(dfrac{2x - 5}{x - 6} = dfrac{x+1}{x-6})

Antworten

Keine Lösung; 6 ist ein ausgeschlossener Wert.

Übung (PageIndex{30})

(dfrac{3}{x + 4} + dfrac{5}{x + 4} = dfrac{3}{x - 1})

Übung (PageIndex{31})

(dfrac{2}{y + 2} + dfrac{8}{y + 2} = dfrac{9}{y + 3})

Antworten

(y=−12)

Übung (PageIndex{32})

(dfrac{4}{a^2 + 2a} = dfrac{3}{a^2 + a - 2})

Übung (PageIndex{33})

(dfrac{2}{b(b+2)} = dfrac{3}{b^2 + 6b + 8})

Antworten

(b=8)

Übung (PageIndex{34})

(dfrac{x}{x-1} + dfrac{3x}{x-4} = dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^2 - 5x + 4})

Übung (PageIndex{35})

(dfrac{4x}{x+2} - dfrac{x}{x+1} = dfrac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2})

Antworten

keine Lösung

Übung (PageIndex{36})

(dfrac{2}{a-5} - dfrac{4a - 2}{a^2 - 6a + 5} = dfrac{-3}{a-1})

Übung (PageIndex{37})

(dfrac{-1}{x+4} - dfrac{2}{x+1} = dfrac{4x + 19}{x^2 + 5x + 4})

Antworten

Keine Lösung; (−4) ist ein ausgeschlossener Wert.

Übung (PageIndex{38})

(dfrac{2}{x^2} + dfrac{1}{x} = 1)

Übung (PageIndex{39})

(dfrac{6}{y^2} - dfrac{5}{y} = 1)

Antworten

(y=−6, 1)

Übung (PageIndex{40})

(dfrac{12}{a^2} - dfrac{4}{a} = 1)

Übung (PageIndex{41})

(dfrac{20}{x^2} - dfrac{1}{x} = 1)

Antworten

(x=4, −5)

Übung (PageIndex{42})

(dfrac{12}{y} + dfrac{12}{y^2} = -3)

Übung (PageIndex{43})

(dfrac{16}{b^2} + dfrac{12}{b} = 4)

Antworten

(y=4,−1)

Übung (PageIndex{44})

(dfrac{1}{x^2} = 1)

Übung (PageIndex{45})

(dfrac{16}{y^2} = 1)

Antworten

(y=4,−4)

Übung (PageIndex{46})

(dfrac{25}{a^2} = 1)

Übung (PageIndex{47})

(dfrac{36}{y^2} = 1)

Antworten

(y=6,−6)

Übung (PageIndex{48})

(dfrac{2}{x^2} + dfrac{3}{x} = 2)

Übung (PageIndex{49})

(dfrac{2}{a^2} - dfrac{5}{a} = 3)

Antworten

(a = dfrac{1}{3}, -2)

Übung (PageIndex{50})

(dfrac{2}{x^2} + dfrac{7}{x} = -6)

Übung (PageIndex{51})

(dfrac{4}{a^2} + dfrac{9}{a} = 9)

Antworten

(a = -dfrac{1}{3}, dfrac{4}{3})

Übung (PageIndex{52})

(dfrac{2}{x} = dfrac{3}{x+2} + 1)

Übung (PageIndex{53})

(dfrac{1}{x} = dfrac{2}{x+4} - dfrac{3}{2})

Antworten

(x = -dfrac{4}{3}, -2)

Übung (PageIndex{54})

(dfrac{4}{m} - dfrac{5}{m-3} = 7)

Übung (PageIndex{55})

(dfrac{6}{a+1} - dfrac{2}{a-2} = 5)

Antworten

(a = dfrac{4}{5}, 1)

Lösen Sie für die folgenden Aufgaben jede Literalgleichung für den angegebenen Buchstaben.

Übung (PageIndex{56})

(V = dfrac{GMm}{D}) für (D)

Übung (PageIndex{57})

(PV = nrt) für (n).

Antworten

(n = dfrac{PV}{rt})

Übung (PageIndex{58})

(E = mc^2) für (m)

Übung (PageIndex{59})

(P = 2(1 + w)) für (w).

Antworten

(W = dfrac{P - 2}{2})

Übung (PageIndex{60})

(A = dfrac{1}{2}h(b + B)) für (B).

Übung (PageIndex{61})

(A = P(1 + rt)) für (r).

Antworten

(r = dfrac{A - P}{Pt})

Übung (PageIndex{62})

(z = dfrac{x-hat{x}}{s}) für (hat{x})

Übung (PageIndex{63})

(F=dfrac{S_{x}^{2}}{S_{y}^{2}} ext { for } S_{y}^{2})

Antworten

(S_{y}^{2}=dfrac{S_{x}^{2}}{F})

Übung (PageIndex{64})

(dfrac{1}{R} = dfrac{1}{E} + dfrac{1}{F}) für (F).

Übung (PageIndex{65})

(K = dfrac{1}{2}h(s_1 + s_2)) für (s_2).

Antworten

(S_{2}=dfrac{2 K}{h}-S_{1} ext { oder } dfrac{2 K-h S_{1}}{h})

Übung (PageIndex{66})

(Q = dfrac{2mn}{s + t}) für (s).

Übung (PageIndex{67})

(V = dfrac{1}{6}pi(3a^2 + h^2)) für (h^2).

Antworten

(h_{2}=dfrac{6 V-3 pi a^{2}}{pi})

Übung (PageIndex{68})

(I = dfrac{E}{R + r}) für (R).

Übungen zur Überprüfung

Übung (PageIndex{69})

Schreiben Sie ((4x^3y^{-4})^{-2}), so dass nur positive Exponenten erscheinen.

Antworten

(dfrac{y^8}{16x^6})

Übung (PageIndex{70})

Faktor (x^4 - 16)

Übung (PageIndex{71})

Ergänze das fehlende Wort. Die Steigung einer Linie ist ein Maß für den _____ der Linie.

Antworten

Steilheit

Übung (PageIndex{72})

Finden Sie das Produkt (dfrac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x-12} cdot dfrac{x^{2}+6 x+9}{x^{ 2}+x-2} cdot dfrac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}+x-6})

Übung (PageIndex{73})

Finden Sie die Summe. (dfrac{2x}{x+1} + dfrac{1}{x-3})

Antworten

(dfrac{2x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-3)})


Mathematische Lösungen für Mathe der Klasse 8 Kapitel 1 - Rationale und irrationale Zahlen

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Seite Nr. 2:

Frage 1:

Zeigen Sie die folgenden Zahlen auf einem Zahlenstrahl. Zeichne für jedes Beispiel einen eigenen Zahlenstrahl.

Antworten:


1   3 2 , 5 2 , - 3 2 kann wie folgt auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.


2   7 5 , - 2 5 , - 4 5 kann wie folgt auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.


3   - 5 8 , 11 8 kann wie folgt auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.


4   13 10 , - 17 10 kann wie folgt auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

Seite Nr. 2:

Frage 2:

Beobachte den Zahlenstrahl und beantworte die Fragen.

(1) Welche Zahl ist mit Punkt B gekennzeichnet?
(2) Welcher Punkt steht für die Zahl 1 3 4 ?
(3) Geben Sie an, ob die Aussage, 'der Punkt D bezeichnet die Zahl 5 2 , wahr oder falsch ist.

Antworten:

(1) Wir beobachten, dass jede Einheit auf dem Zahlenstrahl in 4 gleiche Teile geteilt wird.
B ist nun der zehnte Punkt links von 0.
B zeigt also -10 4 auf dem Zahlenstrahl an.
2   1 3 4 = 7 4 = 7 × 1 4
Der siebte Punkt rechts von 0 ist also C, das 1 3 4 auf dem Zahlenstrahl anzeigt.
(3) Der Punkt D ist der zehnte Punkt rechts von 0. D bedeutet also 10 4 auf dem Zahlenstrahl.
Nun, 10 4   =   5 2
D bedeutet also 5 2 auf dem Zahlenstrahl. Daher ist die angegebene Aussage wahr.

Seite Nr. 3:

Frage 1:

Vergleichen Sie die folgenden Zahlen.
(1) &minus7, &minus2

Antworten:

(2) Wir wissen, dass eine negative Zahl immer kleiner als 0 ist.

(3) Wir wissen, dass eine positive Zahl immer größer als 0 ist.

7   15 12 = 15 × 4 12 × 4 = 60 48   7 16 = 7 × 3 16 × 3 = 21 48
Jetzt 60 48 > 21 48
&dort4 15 12 > 7 16 .

(8) Vergleichen wir zunächst 25 8 und 9 4 .
25 8 = 25 × 1 8 × 1 = 25 8   9 4 = 9 × 2 4 × 2 = 18 8
Jetzt, 25 8 > 18 8
&dort4 25 8 > 9 4
&dort4 - 25 8 < - 9 4 .

9   12 15 = 12 × 1 15 × 1 = 12 15   3 5 = 3 × 3 5 × 3 = 9 15
Jetzt, 12 15 > 9 15
&dort4 12 15 > 3 5 .

(10) Vergleichen wir zunächst 7 11 und 3 4 .
7 11 = 7 × 4 11 × 4 = 28 44   3 4 = 3 × 11 4 × 11 = 33 44
Jetzt, 28 44 < 33 44
&dort4 7 11 < 3 4
&dort4 - 7 11 > - 3 4 .

Seite Nr. 4:

Frage 1:

Schreiben Sie die folgenden rationalen Zahlen in Dezimalform.
(1) 9 37

Antworten:

(1) Die angegebene Zahl ist 9 37 .

&dort4 9 37 = 0,243243. = 0 . 243
Die Dezimalform von 9 37 ist 0 . 243.

(2) Die angegebene Zahl ist 18 42 .

&dort4 18 42 = 0,428571428571. = 0 . 428571
Die Dezimalform von 18 42 ist 0 . 428571 .

(3) Die angegebene Zahl ist 9 14 .

&dort4 9 14 = 0,6428571428571. = 0 . 6 428571
Die Dezimalform von 9 14 ist 0 . 6 428571 .

(4) Die angegebene Zahl ist - 103 5 .

&dort4 103 5 = 20,6
Die Dezimalform von -103 5 ist &minus20.6.

(5) Die angegebene Zahl ist - 11 13 .

&dort4 11 13 = 0,846153846153. = 0 . 846153
Die Dezimalform von - 11 13 ist - 0 . 846153 .

Seite Nr. 5:

Frage 1:

Die Zahl 2 wird auf einem Zahlenstrahl angezeigt. Es werden Schritte angegeben, um 3 auf dem Zahlenstrahl mit 2 anzuzeigen. Füllen Sie die Felder richtig aus und schließen Sie die Aktivität ab.

∙ Der Punkt Q auf dem Zahlenstrahl zeigt die Zahl an.
∙ Durch den Punkt Q wird eine Linie senkrecht zur Zahlengeraden gezogen. Der Punkt R hat einen Einheitsabstand von Q auf der Linie.
∙ Rechtwinklig ∆ ORQ wird durch Zeichnen von Seg OR erhalten.
l(OQ) = 2 , l(QR) = 1

Antworten:


∙ Der Punkt Q auf dem Zahlenstrahl zeigt die Zahl 2 an.
∙ Durch den Punkt Q wird eine Linie senkrecht zur Zahlengeraden gezogen. Der Punkt R hat einen Einheitsabstand von Q auf der Linie.
∙ Rechtwinklig ∆ ORQ wird durch Zeichnen von Seg OR erhalten.
l(OQ) = 2 , l(QR) = 1
&dort4 nach dem Satz des Pythagoras,
[l(ODER)] 2 = [l(OQ)] 2 + [l(QR)] 2
= 2 2 + 1 2 = 2 + 1
= 3
&dort4 l(ODER) = 3
Zeichnen Sie einen Bogen mit Mittelpunkt O und Radius OR. Markieren Sie den Schnittpunkt der Linie und des Bogens als C. Der Punkt C zeigt den Zahlenstrahl 3 .

Seite Nr. 6:

Frage 2:

Zeigen Sie die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl.

Antworten:


Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl wie in der Abbildung gezeigt. Der Punkt O steht für 0 und der Punkt Q für 2. Zeichnen Sie ein senkrechtes QR bei Q auf dem Zahlenstrahl, so dass QR = 1 Einheit ist. Schließen Sie sich ODER an. Nun ist ∆OQR ein rechtwinkliges Dreieck.
Nach dem Satz des Pythagoras haben wir
ODER 2 = OQ 2 + QR 2
= (2) 2 + (1) 2
= 4 + 1
= 5
&dort4 ODER = 5
Nimm O als Mittelpunkt und Radius OR = 5 und zeichne einen Bogen, der die Zahlenlinie bei C schneidet.
Offensichtlich ist OC = OR = 5 .
Daher steht C für 5 auf dem Zahlenstrahl.

Seite Nr. 6:

Frage 3:

Zeigen Sie die Zahl 7 auf dem Zahlenstrahl.

Antworten:


Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl wie in der Abbildung gezeigt und markieren Sie darauf die Punkte O, A und B, so dass OA = AB = 1 Einheit. Der Punkt O steht für 0 und B für 2. Zeichne bei B CB senkrecht auf den Zahlenstrahl, so dass BC = 1 Einheit ist. OC beitreten. Nun ist ∆OBC ein rechtwinkliges Dreieck.
In ∆OBC, nach dem Satz des Pythagoras
(OC) 2 = (OB) 2 + (BC) 2
= (2) 2 + (1) 2
= 4 + 1
= 5
&dort4 OC = 5
Nimm O als Mittelpunkt und den Radius OC = 5 , zeichne einen Bogen, der die Zahlenlinie bei D schneidet.
Offensichtlich ist OC = OD = 5
Zeichne bei D ED senkrecht auf den Zahlenstrahl, so dass ED = 1 Einheit ist. OE beitreten. Nun ist DEODE ein rechtwinkliges Dreieck.
In ∆ODE, nach dem Satz des Pythagoras
(OE) 2 = (OD) 2 + (DE) 2
= ( 5 ) 2 + (1) 2
= 5 + 1
= 6
&dort4 OE = 6
Nehmen Sie O als Mittelpunkt und den Radius OE = 6 und zeichnen Sie einen Bogen, der die Zahlenlinie bei F schneidet.
Offensichtlich ist OE = OF = 6
Zeichne bei F GF senkrecht auf den Zahlenstrahl, so dass GF = 1 Einheit ist. OG beitreten. Nun ist ∆OFG ein rechtwinkliges Dreieck.
In ∆OFG, nach dem Satz des Pythagoras
(OG) 2 = (OF) 2 + (FG) 2
= ( 6 ) 2 + (1) 2
= 6 + 1
= 7
&dort4 OG = 7
Nimm O als Mittelpunkt und den Radius OG = 7, zeichne einen Bogen, der die Zahlenlinie bei H schneidet.
Offensichtlich ist OG = OH = 7
Daher steht H für 7 auf der Zahlengeraden.


8.7: Rationale Gleichungen - Mathematik

Algebrator ist die beste Software, die ich verwendet habe! Ich hätte nie gedacht, dass ich die verschiedenen Formeln und Regeln lernen würde, die in der Mathematik verwendet werden, aber Ihre Software hat es wirklich leicht gemacht. Vielen Dank für die Erstellung. Jetzt habe ich keine Angst mehr, in meinen Algebra-Kurs zu gehen. Vielen Dank!
Nobert, TX

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Tommy Hobroken, WY

Ich habe Algebra nie verstanden, was mich dazu brachte, zu kämpfen und mich schließlich dazu brachte, Mathematik zu hassen. Jetzt, wo ich Algebrator habe, kommt mir Mathe nicht mehr wie eine Fremdsprache vor. Ich besuche jetzt gerne meinen Mathe-Kurs!
Tom Canty, AZ


Das Verhalten dieser Methode folgt dem IEEE-Standard 754, Abschnitt 4. Diese Art der Rundung wird manchmal als Rundung in Richtung negativer Unendlichkeit bezeichnet.

Gibt den größten ganzzahligen Wert zurück, der kleiner oder gleich der angegebenen Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit ist.

Parameter

Eine Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit.

Kehrt zurück

Der größte Integralwert kleiner oder gleich d . Wenn d gleich NaN, NegativeInfinity oder PositiveInfinity ist, wird dieser Wert zurückgegeben.

Beispiele

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Math.Floor(Double)-Methode und kontrastiert sie mit der Ceiling(Double)-Methode.

Bemerkungen

Das Verhalten dieser Methode folgt dem IEEE-Standard 754, Abschnitt 4. Diese Art der Rundung wird manchmal als Rundung in Richtung negativer Unendlichkeit bezeichnet. Mit anderen Worten, wenn d positiv ist, wird jede Bruchkomponente abgeschnitten. Wenn d negativ ist, führt das Vorhandensein eines Bruchteils dazu, dass es auf die kleinere ganze Zahl gerundet wird. Die Funktionsweise dieser Methode unterscheidet sich von der Ceiling-Methode, die das Runden in Richtung positive Unendlichkeit unterstützt.

Ab Visual Basic 15.8 wird die Leistung der Double-to-Integer-Konvertierung optimiert, wenn Sie den von der Floor-Methode zurückgegebenen Wert an eine der ganzzahligen Konvertierungsfunktionen übergeben oder wenn der von Floor zurückgegebene Double-Wert automatisch in eine Ganzzahl konvertiert wird mit Option Streng auf Aus eingestellt. Durch diese Optimierung kann Code schneller ausgeführt werden – bis zu doppelt so schnell für Code, der eine große Anzahl von Konvertierungen in Ganzzahltypen durchführt. Das folgende Beispiel veranschaulicht solche optimierten Conversions:


Mathe-Blog zu Hause

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Sächsische Mathematik ist nicht jedermanns Sache

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Manchmal fragen mich Leute nach meiner Meinung oder Kritik zur sächsischen Mathematik. Das, was ich hier geschrieben habe, gilt insbesondere für die Gymnasien und Mittelstufen der Sächsischen Mathematik. (Die Noten K-3 stammen von einem anderen Autor und sind ganz anders weiter unten.)

Saxon Math verwendet einen "inkrementellen Ansatz", bei dem mathematische Konzepte in kleinen Stücken über mehrere Lektionen hinweg studiert werden und diese Lektionen über einen langen Zeitraum hinweg mit Lektionen zu anderen Themen vermischt werden.

Mit anderen Worten, wenn eine Lektion ein bestimmtes Thema behandelt (z. B. Prozentsätze oder Ungleichungen), ist dies fast garantiert die NÄCHSTE Lektion befasst sich NICHT mit diesem Thema. Es springt ständig von Thema zu Thema, und das ist beabsichtigt.

Die sächsische Methode enthält auch eine Funktion, bei der nach dem Unterrichten sehr wenige Übungsprobleme zum Thema des Unterrichts. Die meisten Probleme sind gemischte Wiederholungsaufgaben, und sie üben Konzepte aus früheren Lektionen, nicht das Konzept oder die Fähigkeit der Lektion.

Diese PDF-Datei enthält drei komplette Lektionen aus der Sächsischen Algebra 1. Sie können also selbst sehen, wie jede Lektion hauptsächlich Übungen zu ANDEREN Themen enthält.

Diese Art der Anordnung hilft den Schülern, den Inhalt auswendig zu lernen, da sie ein bestimmtes Thema mehrere Tage lang üben können (allerdings nur wenige Probleme pro Tag). Der Nachteil ist, dass es viele Schüler ermutigt, einfach zu verwenden Auswendiglernen, und es garantiert nicht noch konzeptionelles Verständnis fördern. Außerdem kann dieser Ansatz für einige Schüler sehr verwirrend sein und, was noch schlimmer ist, einige von ihnen zu Mathematikhassern machen.

Der Unterricht in den Lektionen scheint angemessen, ebenso die Übungen und Probleme. Ich sehe da keine großen Probleme. Und ich kenne viele Leute wie Sächsische Mathematik und viele Schüler haben damit gut abgeschnitten. Es ist möglich, mit Sächsischer Mathematik Mathematik gut zu lernen, keine Frage. Aber auch sächsische Mathematik kann katastrophal sein. Ich persönlich würde eher einen Mittelweg zwischen ständiger Überprüfung und der Notwendigkeit sehen, sich auf neue Konzepte zu konzentrieren.

Wenn Sie Saxon verwenden und bemerken, dass es Ihr Kind allmählich gegen das Fach Mathematik wendet, ziehen Sie bitte andere Optionen in Betracht. Vergewissern Sie sich auch, dass das Kind nicht nur das Auswendiglernen verwendet, um durchzukommen, sondern dass es auch die KONZEPTE versteht.

Die frühen Levels sind nicht von John Saxon, sondern von Nancy Larson. Sie glaubt an das Gespräch zwischen Eltern und Kind, und das zeigt sich in den Materialien. Die frühen Kurse sind vollständig geschrieben, was einige Eltern mögen und andere nicht. Die vorgeschlagenen Gespräche scheinen insgesamt gut zu sein. Manipulationen werden betont, was oft sehr gut ist, aber nicht alle Kinder brauchen viel davon. Und in den frühen Klassenstufen funktioniert die sehr enge Spirale besser als später, daher ist es viel unwahrscheinlicher, dass die frühen Klassenstufen der Sächsischen Mathematik (K-3) dazu führen, dass ein Kind aufgrund des Lehrplans anfängt, Mathematik zu hassen. Diese Sprachstufen von Saxon können (je nach Kind) perfekt funktionieren.

Die Mittelstufenstufen werden von John Saxon und Stephen Hake geschrieben. Hier ist, wo die TLeichte Spiralen können zu einem Stolperstein werden.

Ich glaube, dass Eltern, die zu Hause unterrichtet werden, wissen müssen, dass Sächsisch nicht unbedingt der "Goldstandard" ist. Es funktioniert für einige Kinder und nicht für andere, wie alle anderen Lehrpläne da draußen. Aber im Laufe der Jahre habe ich den Eindruck gewonnen, dass viele Eltern aus irgendeinem Grund (vielleicht wegen seiner Popularität) dazu neigen, Sächsisch etwas höher als nötig zu halten, insbesondere diejenigen, die mit der Heimschule beginnen. Sie wählen einfach automatisch Sächsisch, weil "jeder nutzt es."Die Wahrscheinlichkeit, dass wirklich Schaden angerichtet wird, ist also größer als bei den meisten anderen Mathe-Lehrplänen. Es scheint, dass die Leute dazu neigen, die Einstellung zu haben, dass es funktionieren sollte (auch wenn es nicht funktioniert), da so viele andere Leute verwenden es.

Daher möchte ich ab der 4. Klasse auf die möglichen Fallstricke der sächsischen Mathematik aufmerksam machen, und das potenzielle Hauptproblem ist die enge Spirale. Der Unterricht ist gut und die Übungen/Aktivitäten sind gut, aber die Organisation der Materialien kann Probleme bereiten.

Aber egal welchen Lehrplan Sie verwenden, denken Sie daran, dass der LEHRER (Sie) der wichtigste Teil der gesamten Erfahrung ist! Sie können versuchen, das Curriculum anzupassen, z. B. weniger Probleme zu lösen oder es in einer anderen Reihenfolge zu verwenden, als das Inhaltsverzeichnis vorgibt (obwohl das bei Saxon eine Herausforderung wäre). Der LEHRER kann den größten Unterschied machen, wie und was der Schüler lernt. Seien Sie kein Sklave eines Lehrplans, auch nicht von Math Mammut!


Ich bin nicht der einzige, der dem Ansatz von Saxon Math kritisch gegenübersteht. Ich habe viele andere Meinungen in die gleiche Richtung gelesen. Hier sind zwei, die ich bei Amazon gefunden habe:

"Ich bin Mathematiklehrer und ich muss sagen, dass dieses Algebra-Buch überhaupt nicht nützlich war! Die Organisation der Konzepte ist unlogisch, die „progressive“ Methodik ist verwirrend und die Praxisprobleme sind schlecht durchdacht. Das Mädchen, das ich Tutorin hatte, hatte die Lektion, die sie gerade gelernt hatte, bereits innerhalb weniger Tage vergessen, denn anstatt genügend Probleme zu bieten, um die Lektionen durchzusetzen, beschlossen die Schöpfer dieses Buches, zuvor gelernte Lektionen für die meisten ihrer Übungen zu wiederholen. Ich musste jeden Tag den Unterricht neu unterrichten." (Machst du Witze)

"Als Nachhilfelehrer für höhere Mathematik, von Algebra I bis hin zu Analysis und Differentialgleichungen, seit fast 30 Jahren, fühle ich mich qualifiziert, dieses Buch zu sprengen! Ich habe versucht, es mit zu Hause unterrichteten Schülern zu verwenden. Sie wurden immer verwirrter, also wechselte ich schnell ihre Bücher. Die "sächsischen" Schüler, die ich in Mathematik auf höherer Ebene unterrichtet habe, brauchten Nachhilfe in Algebra I-Konzepten, bevor ich zu ihrem aktuellen Klassenfach übergehen konnte. Obwohl Saxon unter Homeschoolern sehr verehrt wird, kann ich nicht sehen, warum. Die Themen sind nicht klar definiert. Die gleichen Konzepte werden Lektion für Lektion immer und immer wieder wiederholt. Wenn man Informationen nachschlagen muss, kann man nicht sicher sein, welcher Abschnitt des Buches gelesen werden soll. Der Fluss der Konzepte ist bestenfalls sprunghaft. Es ist meiner Meinung nach schädlich für Homeschooler, die oft sehr intelligent sind und einen viel klareren, prägnanteren Text verdienen, der mehr Themen der klassischen Algebra abdeckt I." (Denise Sipe)

Lesen Sie, wie Professor Hung-Hsi Wu es formuliert hat (Hervorhebungen und die zusätzliche Anmerkung sind von mir):

"Aber ich denke, was mich vielleicht am meisten an Saxon stört, ist das Durchlesen, ich habe selbst nicht das Gefühl, dass ich etwas lese, dass die Kinder, wenn sie es benutzen, auch nur einen entfernt richtigen Eindruck davon bekommen, was Mathematik ist." über. Es ist extrem gut darin, die Verfahrensgenauigkeit zu fördern. Und was David darüber sagt, alles in kleinen Schritten aufzubauen, ist richtig, aber die große Pädagogik wird verwendet, um nur einem Zweck zu dienen, nämlich sicherzustellen, dass die Verfahren auswendig gelernt und richtig angewendet werden. Und Sie haben das Gefühl, dass Sie – ich denke, es ist eine logische Analogie – das Skelett ziemlich klar dargestellt sehen, aber Sie sehen nie Methoden, Sie sehen nie Fleisch, nichts – kein Bindegewebe, Sie nur das nackte Zeug sehen.

Ein bisschen davon ist in Ordnung, aber wenn man einen ganzen Band durchliest, bin ich wirklich sehr, sehr unruhig. Es gibt viele Dinge, die ich bewundere, aber etwas, das so einseitig ist – man denkt noch einmal an sich selbst und man denkt darüber nach, was passiert, wenn dieses Ding adoptiert wird. Es könnte viele, viele Kinder geben, die es benutzen. Und nehmen Sie an, dass Hunderttausende von Schülern dieses Buch verwenden und sie vier Jahre lang damit arbeiten. Wären Sie bereit, sich dem Endergebnis zu stellen? Dass hier Hunderttausende von Schüler, die denken, dass Mathematik im Grunde eine Sammlung von Techniken ist."


8.7: Rationale Gleichungen - Mathematik

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Roman Vershynin, Fakultät für Mathematik, UC Irvine

Email: rvershyn "at" uci "dot" edu

Geschäftszeiten: MW 14:10 - 15:00 Uhr in 540D Rowland Hall

Lehrassistent

Boya Liu, Fakultät für Mathematik, UC Irvine

Email: boyaliu1129 "at" gmail "dot" com

Geschäftszeiten: Di 11:00 - 13:00, W 10:00 - 11:00 in 250A Rowland Hall

Wann wo

Vorträge: MWF 12:00-12:50 Uhr (Section 44779) und 13:00-13:50 Uhr (Section 44775) in SH 174

Diskussion: Di 13:00-13:50 Uhr in SSTR 103 (Section 44780) und 10:00-10:50 Uhr in SST 120 (Section 44776)

Beschreibung, Voraussetzungen & Lehrbuch

Kursbeschreibung: Einführung in die reelle Analysis, einschließlich Konvergenz von Folgen, unendlichen Reihen, Differentiation und Integration sowie Folgen von Funktionen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie Nachweise erbringen. Die Kapitel 1-3 (außer 3.19, 3.20) werden behandelt.

Voraussetzungen: Voraussetzungen: (MATH 2B oder AP Calculus BC) und (MATH 2D oder MATH H2D) und (MATH 3A oder MATH H3A) und MATH 13. AP Calculus BC mit einer Mindestpunktzahl von 4. MATH 13 mit einer Note von C oder besser.

Lehrbuch: K. Ross, Elementaranalyse, zweite Auflage.

Benotung

Die Kursnote wird wie folgt ermittelt:

  • Hausaufgaben: 10%. Eine Hausaufgabe mit der niedrigsten Punktzahl wird fallen gelassen. Jeden Donnerstag werden Lösungen gesammelt. Nachträgliche Hausaufgaben werden nicht akzeptiert. Sie sind willkommen und werden ermutigt, Lerngruppen zu bilden und Hausaufgaben mit anderen Studierenden zu besprechen, aber Sie müssen Ihre Lösungen individuell schreiben.
  • Zwischenprüfung 1: 25%, Mittwoch, 24. Oktober, im Unterricht. Deckt alles ab, was im Unterricht bis einschließlich 17. Oktober behandelt wird.
  • Zwischenprüfung 2: 25%, Montag, 19. November, im Unterricht. Deckt alles ab, was im Unterricht bis einschließlich 9. November behandelt wird.
  • Abschlussprüfung: 40%, Mittwoch, 12. Dezember, 13:30-15:30 Uhr, im ICS 174.

Die Prüfungen werden aus keinem Grund nachgeholt. Eine verpasste Zwischenprüfung zählt mit folgender Ausnahme als null Punkte. Wenn Sie aufgrund eines dokumentierten medizinischen oder familiären Notfalls eine Zwischenprüfung verpassen, wird das Prüfungsgewicht zum Gewicht der Abschlussprüfung addiert.


Lineare Gleichungsprobleme

Der Wert der unbekannten Größe, für die wir aus einer gegebenen Gleichung echte numerische Gleichheit erhalten, wird als Wurzel dieser Gleichung bezeichnet. Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn die Mengen ihrer Wurzeln übereinstimmen, die Wurzeln der ersten Gleichung sind auch Wurzeln der zweiten und umgekehrt. Es gelten folgende Regeln:
1. Wenn in einer gegebenen Gleichung ein Ausdruck durch einen anderen identischen ersetzt wird, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.
2. Wenn in einer gegebenen Gleichung ein Ausdruck mit entgegengesetztem Vorzeichen von einer Seite zur anderen übertragen wird, erhalten wir eine der gegebenen äquivalente Gleichung.
3. Wenn wir beide Seiten einer gegebenen Gleichung mit derselben Zahl, die von Null verschieden ist, multiplizieren oder dividieren, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.
Eine Gleichung der Art $ax + b = 0$, wobei $a, b$ Zahlen sind, heißt einfache Gleichung in Bezug auf die unbekannte Größe $x$.

Aufgabe 1 Löse die Gleichung:
A) 16x + 10 – 32 = 35 – 10x - 5
B) $y + frac<3> <2y>+ 25 = frac<1><2>y + frac<3><4>y – frac<5><2>y + y + 37$
C) 7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u

A) Wir machen einige der gemachten Aktionen und wir bekommen
16x – 22 = 30 – 10x
Nach der Anwendung von Regel 2 finden wir 16x + 10x = 30 + 22
Nach der Addition 26x = 52
Wir finden einen unbekannten Multiplikator, indem wir das Produkt durch den anderen Multiplikator dividieren.
Deshalb $x = frac<52><26>$
Therefore x = 2

B) By analogy with A) we find:
$yleft(1 + frac<3><2> ight) + 25 = yleft(frac<1> <2>+ frac<3> <4>– frac<5> <2>+ 1 ight) + 37 Leftrightarrow$
$frac<5><2>y + 25 = -frac<1><4>y + 37 Leftrightarrow frac<5><2>y + frac<1><4>y = 37 - 25 Leftrightarrow$
$frac<11><4>y = 12 Leftrightarrow y = frac<12.4> <11>Leftrightarrow y = frac<48><11>$

C) 4u – 4 = 7u – 6 6 – 4 = 7u – 4u 2 = 3u $u = frac<2><3>$

Aufgabe 2 Solve the equation :
A) 7(3x – 6) + 5(x - 3) - 2(x - 7) = 5
B) (x -3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4) 2
C) (x + 1) 3 – (x - 1) 3 = 6(x 2 + x + 1)

A) 21x - 42 + 5x - 15 - 2x + 14 = 5
21x + 5x - 2x = 5 + 42 + 15 - 14
24x = 48 x = 2

B) x 2 + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x 2 - 8x + 16
x 2 - 5x – x 2 + 8x = 16 + 12 – 4
3x = 24 x = 8

C) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 – (x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = 6x 2 + 6x + 6
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 – x 3 + 3x 2 + 1 = 6x 2 + 6x + 6
2 = 6x + 6 6x = -4 $x = -frac<2><3>$

A) $frac<5x - 4> <2>– frac<0.5x + 1> <3>Leftrightarrow$
3(5x - 4) = 2(0.5x + 1)
15x - 12 = x + 2
15x – x = 12 + 2
14x = 14 x = 1

B) $1 – frac <5>= frac<3(1 - x)><3>Leftrightarrow$
$1 –frac <5>= 1 – xLeftrightarrow$
-x + 3 = - 5x
5x – x = - 3
$x = -frac<3><4>$

C) $frac<3(x - 1)> <2>+ frac<2(x + 2)> <4>= frac<3x + 4.5> <5>Leftrightarrow$
$frac<2(x + 1) - 3(2x + 5)> <6>= - 3 Leftrightarrow$
$frac<2x + 2 - 6x -15> <6>= - 3 Leftrightarrow$
-4x - 13 = -18
-4x = -18 + 13
-4x = -5 $x = frac<5><4>$

D) We reduce to common denominator, which for 2, 4 and 5 is 20
$frac<3(x - 1)> <2>+ frac<2(x + 2)> <4>= frac<3x + 4.5> <5>Leftrightarrow$
30(x - 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4.5)
30x - 30 + 10x + 20 = 12x + 18
40x - 12x = 18 + 10
28x = 28 x = 1

Problem 4 Proof that every value of the unknown quantity is root of the equation:
A) 7x - 13 = - 13 + 7x
B) $(frac<1> <2>– x)^2 – (frac<1> <2>+ x)^2 = -2x$
C) 3x - 3x = 26 - 2(7 + 6)
D) $frac<-3x + 4x^2> <5>= (0.8x - 0.6)x$

Lösung: For one simple equation with unknown quantity x every x is a solution, if it is reduced to the following equivalent equation 0.x = 0 or it transforms into identity a = a . Actually, in the left any value of x , when we multiply it with zero, will obtain zero, i.e. the right side or the value of x won’t influence the right or left side of the identity.

A) 7x - 7x = -13 + 13 0.x = 0 every x is a solution.

B) $frac<1> <4>- x + x^2 –(frac<1> <4>+ x + x^2) = - 2x$
$frac<1> <4>- x + x^2 -frac<1> <4>– x – x^2 = - 2x$
-2x = -2x
-2x + 2x = 0
0.x = 0 Therefore every x is a solution.

C) 0.x = 26 - 2.13
0.x = 26 – 26
0.x = 0 every x is a solution.

D) -3x + 4x 2 = 5(0.8x - 0.6)x
-3x + 4x 2 = (4x - 3)x
-3x + 4x 2 = 4x 2 - 3x
Therefore every x is a solution.

Problem 5 Proof that the equation has no roots:
A) 0.x = 34
B) 5 - 3x = 7 - 3x
C) $frac <4>= frac<4>$
D) 2(3x - 1) – 3(2x + 1) = 6

A) For the left side we will get value 0 for every x and for the right side is 34, i.e. number different from 0. Therefore there is no such x to get a true numerical equality

B) 5 - 3x = 7 - 3x 3x - 3x = 7 - 5 0.x = 2 0 = 2, which is impossible for any x

C) $frac <4>= frac<4>$ x - 3 = x + 5 x – x = 5 + 3 0 = 8 => no solution

D) 2(3x - 1) - 3(2x + 1) = 6 6x - 2 - 6x - 3 = 6 0.x = 6 + 5 0 = 11 no solution.

Problem 6 Solve the equation:
A) 2x 2 - 3(1 – x)(x + 2) + (x - 4)(1 - 5x) + 58 = 0
B) 3.(x + 1) 2 – (3x + 5).x = x + 3
C) x 2 – (x - 1).(x + 1) = 4
D) (x - 1).(x 2 + x + 1) = (x - 1) 3 + 3x(x - 1)
E) (3x - 1) 2 – x(15x + 7) = x(x + 1).(x - 1) – (x + 2) 3

A) 2x 2 - 3(x + 2 – x 2 - 2x) + x - 5x 2 - 4 + 20x + 58 = 0
2x 2 - 3x - 6 + 3x 2 + 6x + x - 5x 2 - 4 + 20x + 58 = 0
0.x 2 + 24x + 48 = 0
24x = - 48 x = -2

B) 3(x 2 + 2x + 1) - 3x 2 - 5x = 3x 2 + 6x + 3 - 3x 2 -5x = x + 3
(3 - 3)x 2 + (6 - 5).x – x = 3 - 3
0 = 0 => every x is a solution

C) x 2 – (x 2 -1) = 4
x 2 – x 2 + 1 = 4
0 = 3 => no solution

D) x 3 + x 2 + x – x 2 – x - 1 = x 3 - 3x 2 + 3x - 1 + 3x 2 - 3x
0 = 0 => every x is a solution

E) 9x 2 - 6x + 1 - 15x 2 - 7x = x 3 –x 2 + x 2 – x – x 3 - 6x 2 - 12x - 8
0 = 9 => no solution

Problem 7 Solve the equation:
A) $frac<6x - 1> <5>- frac<1 - 2x> <2>= frac<12x + 49><10>$
B) $frac <2>+ frac<2x - 2> <4>= frac<7x - 6><3>$

A)We reduce to common denominator and we get:
12x - 2 - 5 +10x = 12x + 49
22x - 12x = 49 + 7
10x = 56 x = 5.6

Problem 8 The function f(x) = x + 4 is given. Solve the equation:
$frac<3f(x - 2)> + 4 = f(2x + 1)$

We calculate f(0), f(x -2), f(2x +1), namely f(0) = 0 + 4 = 4
f(x - 2) = x - 2 + 4 = x + 2
f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5 The equation gets this look
$frac<3(x + 2)> <4>+ 4 = 2x + 5$
3(x + 2) +16 = 4(2x + 5)
3x + 6 +16 = 8x + 20
22 - 20 = 8x - 3x
2 = 5x x = 0.4

Problem 9 Solve the equation:
(2x - 1) 2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x) 3

(2x - 1) 2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x) 3
4x 2 - 4x + 1 -10x 2 – x = x – x 3 - 8 + 12x - 6x 2 + x 3
18x = 9 $x = frac<1><2>$

Problem 10 Solve the equation:
(2x + 3) 2 –x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 - 1

(2x + 3) 2 – x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 -1
4x 2 + 12x + 9 – x(1 - 4x 2 ) = 4x 2 - 4x + 1 + 4x 3 - 1
12x + 9 – x + 4x 3 = - 4x + 4x 3
15x = -9 $x = -frac<3><5>$

Problem 11 Solve the equation :
(2x - 1) 3 + 2x(2x - 3).(3 - 2x) – (3x - 1) 2 = 3x 2 - 2

We open the brackets by using the formulas for multiplication:
8x 3 - 3(2x) 2 .1 + 3.2x(1) 2 – 1 3 - 2x(2x - 3) 2 – (9x 2 - 6x + 1) = 3x 2 - 2
8x 3 - 12x 2 + 6x - 1 - 2x(4x 2 - 12x + 9) - 9x 2 + 6x - 1 = 3x 2 - 2
8x 3 - 21x 2 + 12x - 8x 3 + 24x 2 - 9x = 3x 2
3x 2 + 3x = 3x 2
3x = 0 x = 0

Problem 12 Solve the equation :
$left(2x - frac<1><2> ight)^2 – (2x - 3)(2x + 3) = x + frac<1><4>$

We use the formulas for multiplication, open the brackets and get:
$4x^2 - 2x + frac<1> <4>– (4x - 9) = x + frac<1><4>$
$4x^2 - 2x + frac<1> <4>- 4x^2 + 9 = x + frac<1><4>$
9 = x + 2x
9 = 3x x = 3

Problem 13 Proof that the two equations are equivalent:
A) $frac <2>+ frac <8>= frac<1.5x - 10><4>$ and $frac <2>– frac<5.5 - 0.5x> <3>= 1.5$
B) $x – frac<8x + 7> <6>+ frac <3>= -1left(frac<1><6> ight)$ and $2x – frac<6 – x> <3>- 2left(frac<1><3> ight)x = -2$

A) For the first equation we get consecutively:
4(x - 5) + x - 1 = 2(1.5x - 10)
4x - 20 + x - 1 = 3x - 20
5x – 3x = - 20 + 21
2x = 1 $x = frac<1><2>$,
for the second equation we have
3(x + 6) - 2(5.5 - 0.5y) = 6 . 1.5
3x + 18 - 11 + x = 9
4y = 9 - 7
$x = frac<2><4>$ $x = frac<1><2>$ Therefore the equations are equivalent.

B) Analogical to A) Try by yourself

Problem 14Solve the equation :
A) (2x + 1) 2 – x(1 - 2x)(1 + 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 - 3
B) (2x - 1) 2 + (x - 2) 3 = x 2 (x - 2) + 8x - 7
C) (x + 2)(x 2 - 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x - 4
D) $frac<8x + 5> <4>– frac<1><2left[2 – frac<3 – x><3> ight]> = 2x + frac<5><6>$
E) $frac <3>– frac <4>= x – frac<1><3left[1 – frac<3 - 24x><8> ight]>$
F) $frac <5>– frac<(2x - 3)^2> <3>= frac<1><5>left[5 – frac<20x - 43x><3> ight]$

A) 4x 2 + 4x + 1 – x(1 - 4x 2 ) = 4x 2 - 4x + 1 + 4x 3 - 3
4x – x + 4x 3 = -4x + 4x 3 -3
3x + 4x = -3
7x = - 3 $x = -frac<3><7>$

B) 4x 2 - 4x + 1 + x 3 - 3x 2 .2 + 3x.2 2 - 8 = x 3 -2x 2 + 8x - 7
4x 2 - 6x 2 - 4x + 1 + 12x - 8 = - 2x 2 + 8x -7
-2x 2 + 8x - 7 = - 2x 2 + 8x - 7
0 = 0 => every x is a solution

C) x 3 + 2x 2 - 2x 2 - 4x + 4x + 8 + x(1 – x 2 ) = x - 4
x 3 + 8 + x – x 3 = x - 4
8 = - 4, which is impossible. Therefore the equation has no solution

D) $frac<8x + 5> <4>- 1 + frac<3 – x> <6>= 2x + frac<5> <6>Leftrightarrow$
3(8x + 5) - 12 + 2(3 – x) = 24x + 2.5
24x + 15 - 12 + 6 - 2x = 24x + 10
-2x = 10 - 9 $x = -frac<1><2>$

E) $frac <3>– frac <4>= x - frac<1> <3>+ frac<3 - 24x> <24>Leftrightarrow$
8x - 6(x + 3) = 24x - 8 + 3 - 24x
8x - 6x - 18 = -5
2x = 18 - 5
2x = 13 x = 6.5

F) $frac <5>– left[frac<2x - 3><3> ight]^2 = 1 – frac<20x^2 - 43x> <15>Leftrightarrow$
3x - 5(4x 2 -12x + 9) = 15 - 20x 2 + 43x
3x - 20x 2 + 60x - 45 = 15 - 20x 2 + 43x
63x - 43x = 15 + 45
20x = 60 x = 3


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Teaching Grade 8 Math Topics effectively will help your kids to advance their math reasoning and logical ability. Confidence and ability to learn will be improved by referring to the 8th Standard Math Topics available. Thus, they will be prepared for high school studies. If you want to learn more about the 8th Grade Math Concepts have an insight into the below topics and get an idea of what is included in the 8th Grade Curriculum.

All you have to do is simply tap on the quick links available to avail the respective topics and get a grip on them. We included both the theoretical part as well as worksheets for your practice. Our 8th Grade Math Worksheets make it easy for you to test your preparation standard on the corresponding topics. Identify the knowledge gap and improvise on the topics you are facing difficulty with.


Interventions

Student has difficulty getting started.

  • What are you trying to do?
  • What are the coordinates of the vertices of the original figure?
  • What axis are you reflecting the figure across?
  • What will you do first? Second?

Student has an incorrect solution.

  • Explain how you reflected the figure across the axis.
  • What does it mean to reflect a point across an axis?
  • How do you know that the point is reflected across the axis correctly?

Student has a correct solution.

  • What method did you use to reflect the figure across the axis?
  • Did you reach any conclusions about the coordinates of the reflected figure&rsquos vertices?

ELLs: In posing these questions, make sure that if the student involved is an ELL, your pace is adequate and you are providing ample wait time to allow for a thoughtful response.


Meets Expectations

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for focus and coherence in Gateway 1. The instructional materials meet the expectations for focus by assessing grade-level content and devoting the large majority of class time to major work of the grade. The instructional materials meet expectations for coherence due to being consistent with the progressions in the standards and making connections within the grade.

Criterion 1a

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for not assessing topics before the grade level in which the topic should be introduced. There are above grade-level assessment items that could be modified or omitted without impact on the underlying structure of the instructional materials.

Indicator 1a

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for assessing grade-level content.

Each unit includes Form A and Form B Assessments as well as Tiered Assessments Form AT and Form BT, all of which include selected response and constructed response sections. Performance Tasks are also included with each unit. In addition, Gem Challenges are online, standards-based items for use after a standard has been addressed and are located after certain lessons.

Examples of grade-level assessments include:

  • Unit 2, Proportional Relationships, Form A, Part II, Problem 1: “Write two different ratios that would form a proportion with the ratio of 8/6.” (7.RP.1)
  • Unit 5, Products & Quotients of Rational Numbers, Form A, Part I, Problem 5: “What is the value of the expression below? 6(−1+5)−30 a. -66, b. -54, c. -6, d. 6” (7.NS.2a)
  • Unit 6, Algebraic Expressions, Form A, Part II, Problem 16: “Explain two different ways to simplify 3(1.2x − 6+2.1 x ). Show that both ways lead to the same simplified expression.” (7.EE.1)
  • Lesson 10.1, Probability, Online Gem Challenge 1, Problem 3: “Students in a math class will be randomly assigned a polygon for a class project. The only types of polygons being assigned are quadrilaterals, pentagons, hexagons, octagons and decagons. If there is an equal number of each type of polygon, what is the probability that the first polygon assigned will be a hexagon?” (7.SP.7)

There are above grade-level assessment items that could be modified or omitted without impact on the underlying structure of the instructional materials. These items include:

  • Unit 9, Part I, Problem 9: “The area of the base of a trapezoidal pyramid is $34ft^2$. The pyramid is 12 feet tall. What is the volume of the pyramid?” (8.G.9)
  • Unit 9, Part 1, Problem 10: “The perimeter of the base of a square pyramid is 12 yards. The height of the pyramid is 13.5 yards. What is the volume of the pyramid?” (8.G.9)
  • Unit 8, Part I, Problem 2: “What is the approximate area of the shaded sector? Use 3.14 for pi.” (G-C.5) Students are using a circle with a sector shaded. The angle within the sector is labeled as 100* and the radius is labeled as 3 cm.
  • Unit 8, Part II, Form A, Problem 4: “Determine if the following pair of triangles must be the same shape or not. Explain your reasoning.” (8.G.4)

Criterion 1b

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for devoting the large majority of class time to the major work of the grade. The instructional materials spend approximately 73% of class time on the major work of the grade.

Indicator 1b

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for spending a majority of instructional time on major work of the grade.

  • The number of units devoted to major work of the grade (including assessments and supporting work connected to the major work) is 6.5 out of 10, which is 65%.
  • The number of lessons devoted to major work of the grade (including supporting work connected to the major work) is 27.5 out of 43, which is approximately 64%.
  • The approximate number of days devoted to major work (including assessments and supporting work connected to the major work) is 102 out of 140, which is 73%.

A day-level analysis is most representative of the instructional materials because this perspective includes all connections to major work and follows the recommended pacing suggestions for addressing major work. As a result, approximately 73% of the instructional materials focus on major work of the grade.

Criterion 1c - 1f

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for being coherent and consistent with the Standards. The instructional materials have supporting work that enhances focus and coherence simultaneously, are consistent with the progressions in the standards, and foster coherence through connections within the grade.

Indicator 1c

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations that supporting work enhances focus and coherence simultaneously by engaging students in the major work of the grade. Supporting standards and clusters are connected to major standards and clusters of the grade, and lessons address supporting standards while maintaining focus on the major work of the grade. Examples of supporting work being used to support the focus and coherence of the major work of the grade include:

  • Lesson 2.2 connects 7.G.6 and 7.RP.3 as students use facts about polygons to solve proportions. An example is, “Two squares have a scale of 1 : 8 1/2 . The perimeter of the larger square is 170 units. What is the side length of the smaller square?”
  • Lesson 8.4 connects 7.EE.3 and 7.G.6 as students write and solve equations to determine area and missing side lengths of polygons. An example is, “The length of a rectangle is 2.5 cm. The area is $20 cm^2$. What is the width of the rectangle?”
  • Lesson 10.2 connects 7.RP.2c and 7.SP.7 as students use proportions to predict outcomes using probability. For example, Example 2 states, “Last week in practice, Lou had 12 hits in 40 at-bats. Use experimental probability to predict how many hits he will have next week if he gets 30 at-bats.” The worked-out example describes how to set up a proportion to solve.
  • Lesson 10.3 connects 7.SP.8 and 7.NS.2 as students find the probability of events by multiplying rational numbers. An example is, “A shirt comes in three colors (blue, red and black) and can be either long-sleeved or short-sleeved. If you choose one shirt from a pile, what is the probability that it is a short-sleeved blue shirt?”

Indicator 1d

The instructional materials for EdGems Math Grade 7 partially meet expectations that the amount of content designated for one grade level is viable for one year.

As designed, the instructional materials can be completed in 110-144 days. If teachers followed the pacing guide, and used the minimal amount of days allocated, the materials would not be viable for a full school year. If teachers followed the pacing guide, and used the maximum amount of days allocated, the materials would be viable for a full school year. Considering the variability of instructional days, these materials partially meet expectations that the amount of content designated for one grade level is viable for one year.

The materials include ten units, containing 43 lessons. Lessons range in length from one to four days. Each unit includes lessons, assessments, and targeted interventions.

  • The Pacing Guide designates one lesson as 1-2 days, 22 lessons as 2-3 days, one lesson as 3-4 days, and 19 lessons as 2 days, leading to a total of 86-110 lesson days.
    • 1 lesson = 1 to 2 days
    • 22 lessons = 44 to 66 days
    • 1 lesson = 3 to 4 days
    • 19 lessons = 38 days

    Additionally, there is a discrepancy within the Grade 7 materials. Based on each unit overview page there is a range of 114-151 instructional days, with 86-110 days for lessons and 28-41 days for assessment. Based on the Scope and Sequence document, there is a range of 113-146 instructional days, with 86-110 days for lessons and 27-36 days for assessment. In addition, on the top of some of the Scope and Sequence documents within the units of Grade 7, it gives a range of 110-144 days, such as in Units 1 and 2, but Unit 10 gives a range of 121-160 days.

    Indicator 1e

    The instructional materials for EdGems Math Grade 7 meet expectations for being consistent with the progressions in the Standards. In general, the instructional materials clearly identify content from prior and future grade-levels and use it to support the progressions of the grade-level standards. In addition, the instructional materials give all students extensive work with grade-level problems.

    Each Unit Overview describes how the work of the unit is connected to previous grade level work, for example:

    • The introductory paragraph of the Unit 7 Overview, Solving Equations and Inequalities, states, “In Grade 6 CCSS, students solved one-step equations. In this unit, students will apply their understanding of balancing an equation to solving two-step equations. They will also use their skills of simplifying expressions to solve equations that include like terms or the Distributive Property. Students have previously used the inequality symbols to compare numbers and graph solutions to an inequality. Students will also combine that knowledge with the equation-solving process to solve inequalities and graph their solutions on a number line.”

    Each Unit Overview includes Learning Progression, and each Learning Progression includes statements identifying what students have learned in earlier grades and what students will learn in future grades, for example:

    Unit 6: Algebraic Expressions, In earlier grades, students have…

    • Evaluated expressions in which letters stand for numbers. (6.EE.2)
    • Applied properties of operations to generate equivalent expressions. (6.EE.3-4)
    • Used variables to represent numbers and write expressions for real-world problems. (6.EE.6)

    In future grades, students will…

    • Solve multi-step equations that require simplifying before solving. (8.EE.7)
    • Add, subtract and multiply polynomials. (A-APR)
    • Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. (A-SSE.1)

    In some units, the Unit Overview references connections to current grade level work that was addressed in prior units. Examples include:

    • Lesson 2.2, Problem Solving With Proportions, the Teaching Tips Section includes, “In this lesson, students utilize their knowledge of scale factors and scales from Lesson 1.4 and apply these scales using proportions.”
    • Lesson 5.3, Dividing Rational Numbers, “Students divided fractions when working with complex fractions in Unit 1. Make connections to that work to remind students about the process of dividing fractions by multiplying by the reciprocal.”

    The instructional materials present opportunities for students to engage with work with grade-level problems within each Student Lesson, Explore activity, Student Gem (online activities to provide practice with the content), Online Practice & Gem Challenge (only in some lessons), Exit Card, and Performance Task. Beispielsweise:

    • In Lesson 5.4, students solve problems by identifying where to put parentheses in numerical expressions (7.NS.3). For example, “Insert one set of parentheses to make the equation true: Problem 31. 5 + 3 + 9 ÷ 3 = 9.”

    The materials include one example of off grade-level content that is not identified that distracts students from engaging with the grade-level standards:

    • In Lesson 8.6, students find the area of sectors of circles (G-C.5). Example 5 presents a diagram of a circle with a 115 degree shaded sector and states, “Find the area of the shaded sector in circle M. Round to the nearest hundredth.”

    Each unit includes a Parent Guide with Connecting Math Concepts, which includes, “Past math topics your child has learned that will be activated in this unit and Future math this unit prepares your child for.” For example, in Unit 6, Algebraic Expressions, “Past math topics your child has learned that will be activated in this unit evaluating expressions in which letters stand for numbers, applying properties of operations to generate equivalent expressions, and using variables to represent numbers and write expressions for real-world problems.” “Future math this unit prepares your child for solving multi-step equations that require simplifying before solving, adding, subtracting and multiplying polynomials, and interpreting expressions that represent a quantity in terms of its context.”

    Each Lesson Guide includes Teaching Tips, which often include connections from prior or future grades, for example:

    • Lesson 2.4, Proportional Relationships Equations, “In later grades (starting in Grade 8), students begin calling the constant of proportionality the slope of the line. You may want to connect to the concept of slope in this lesson as students are solidifying the idea that the constant of proportionality is the rate at which the function is increasing or decreasing. The larger the absolute value of the constant of proportionality, the steeper the line.”

    In each Lesson Guide, Warm Up includes problems noted with prior grade-level standards. Beispielsweise:


    Schau das Video: Matematik -Ligninger feat. Aya OEG (November 2021).