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5.5: Division in (mathbb{Z}_{b}) - Mathematik


Das nächste Ergebnis ist ein Game Changer! Sie sagt uns, dass es ein eindeutiges Element (a^{-1}) mit (aa^{-1} = _{b} 1) genau dann gibt, wenn (a) im reduzierten Restmenge (modulo (b)). Somit ist die Division in der reduzierten Menge von Resten modulo (b) wohldefiniert. Ein Ring ist eine Struktur mit Addition und ihrer inversen Subtraktion plus Multiplikation, bei der die Multiplikation jedoch keine Inverse haben darf. Eine detailliertere Beschreibung dieser algebraischen Konstruktionen finden Sie in Abschnitt ??. Die Zahlen (1) und (-1) befinden sich immer in der reduzierten Menge der Reste modulo (b). Diese Menge wird manchmal als Einheitenmenge bezeichnet (siehe Definition ??) von (mathbb{Z}_{b}).

Satz 5.16

Sei (mathbb{R}) eine reduzierte Menge von Resten modulo (b). Dann

  1. für jedes (ainmathbb{R}) gibt es ein eindeutiges (a') in (mathbb{R}) mit (a′a = _{b} aa′ = _{b} 1)
  2. für jedes (a otinmathbb{R}) gibt es kein (xinmathbb{Z}_{b}) mit (ax = _{b} 1)
  3. sei (mathbb{R} = {x_{i}}_{i=1}^{varphi(b)}), dann auch (mathbb{R} = {x-1 } _{i=1}^{varphi (b)}).
Nachweisen

Aussage 1: Die Existenz einer Lösung folgt unmittelbar aus dem Lemma von Be ́zout, nämlich (a′ = _{b} x) löst sich nach (x) in (ax+by = 1). Diese Lösung muss in (mathbb{R}) liegen, da (a) wiederum die Lösung von (a′x + by = 1) ist und somit aus dem Lemma von Be ́zout folgt, dass ( gcd (a',b) = 1). Angenommen, wir haben zwei Lösungen (ax = _{b} 1) und (ay = _{b} 1), dann folgt die Eindeutigkeit aus der Anwendung des Aufhebungssatzes 2.7 auf die Differenz dieser Gleichungen.

Aussage 2: Nach Hypothese ist (gcd (a,b) > 1). Wir haben, dass (ax = _{b} 1) äquivalent zu (ax+by = 1) ist, was dem Lemma von Be ́zout widerspricht.

Aussage 3: Dies ist ähnlich zu Lemma 5.3. Nach (1) wissen wir, dass alle Inversen in (R) liegen. Wenn die Aussage also falsch ist, muss es zwei Elemente von (R) geben. Wenn die Aussage also falsch ist, muss es zwei Elemente von (R) mit derselben Inversen geben: (ax = _{b} cx). Dies ist durch eine Stornierung nicht möglich.

Lemma 5.17

Sei (p) prim. Dann gilt (a^2 = _{p} 1) genau dann, wenn (a = _{p} pm 1)

Nachweisen

Wir haben

[a^2 = _{p} 1 Leftrightarrow a^{2}-1 = _{p} (a+1)(a-1) = _{p} 0 Leftrightarrow p | (a+1)(a-1) keineZahl]

Da (p) eine Primzahl ist, sagt Korollar 2.12, dass entweder (p | a+1) (also (a = _{p} -1)) oder (p | a-1) ( also (a = _{p} +1)).

Vielleicht ist dieses letzte Lemma überraschenderweise falsch, wenn (p) keine Primzahl ist. Zum Beispiel (4^2 = _{15} 1), aber (4 e_{15} pm 1).

Satz 5.18 (Satz von Wilson)

Ist (p) prim in (mathbb{Z}), dann gilt ((p-1)! = _{p} -1). Wenn (b) zusammengesetzt ist, dann ist ((b-1)! e _{b} -1)

Nachweisen

Dies gilt für (p = 2). Falls (p > 2), dann implizieren Proposition 5.16(3) und Lemma 5.17, dass jeder Faktor (a_{i}) im Produkt ((p-1)!) außer (-1) ) oder (1) eine eindeutige Inverse (a_{i}') hat, die sich von sich selbst unterscheidet. Die Faktoren (a_{i}') durchlaufen alle Faktoren (2) bis (p-2) genau einmal. Somit können wir im Produkt jedes von (pm 1) verschiedene (a_{i}) mit seiner Umkehrung paaren. Das gibt

[(p-1)! = _{p} (+1)(-1) prod a_{i}a_{i}' = _{p} -1 onumber]

Der zweite Teil ist einfacher. Wenn (b) zusammengesetzt ist, gibt es kleinste Reste (a) und (b) größer als (1), so dass (ad = _{b} 0). Nun können wir entweder (a) und (b) verschieden wählen und dann enthält ((b-1)!) das Produkt (ad) und ist somit gleich null mod (b). Andernfalls ist dies unmöglich und (b = a^2). Aber dann immer noch (gcd ((b-1)!, b) ge a). Nach Be ́zout muss ((b-1)!) mod (b) ein Vielfaches von (a) sein.

Der Satz von Wilson könnte verwendet werden, um die Primalität einer Zahl (n) zu testen. Dies erfordert jedoch (n)-Multiplikationen, was in der Praxis teurer ist, als zu versuchen, (n) durch alle Zahlen kleiner als (sqrt{n}) zu teilen. Beachten Sie jedoch, dass der Satz von Wilson viel effizienter verwendet werden kann, wenn Sie eine Liste aller Primzahlen zwischen (1) und (N) berechnen möchten. Nachdem ((k-1)! = _{k}) berechnet wurde, um zu bestimmen, ob (k) prim ist, braucht man nur (1)-Multiplikation und (1)-Division, um zu bestimmen, ob (k( +1) ist prim.

Hier ist der Take-Away, der für Kapitel wichtig sein wird ??. Genauer gesagt haben wir folgendes Ergebnis.

Folgerung 5.19

Sei (p) prim.

Für jedes (ainmathbb{Z}_{p}) gibt es ein eindeutiges (a′ = _{p} -a) mit (a+a′ = _{p} 0 ).

Für jedes (ainmathbb{Z}_{p}) und (a e 0) gibt es ein eindeutiges (a′ = a^{-1}), so dass (aa = _{p} 1).

Addition und Multiplikation sind in (mathbb{Z}_{b}) wohldefiniert (siehe Aufgaben 5.1 und 5.2). Wenn also (p) eine Primzahl ist, können wir in (mathbb{Z}_{p}) addieren, multiplizieren, subtrahieren und dividieren. In den Worten von Kapitel ??, wenn (p) eine Primzahl ist, dann ist (mathbb{Z}_{p}) ein Körper. Interessanterweise gilt dies nicht für eine zusammengesetzte Zahl (b). Nach Proposition 5.16 benötigen wir die reduzierte Menge der Reste, damit die Multiplikation invertierbar ist. Damit die Menge unter Multiplikation abgeschlossen ist, brauchen wir gleichzeitig alle (mathbb{Z}_{b}) (denken Sie an (1+1+dots)). Somit wirken die Operationen Addition und Multiplikation in (mathbb{Z}_{b}) nur zusammen, wenn (b) eine Primzahl ist.


Anzahl der Elemente im Quotientenring über $mathbb Z_5[x]$ und $mathbb Z_[x]$

a) Wie viele Elemente hat der Quotientenring$displaystyle frac $?

Ich kann sehen, dass das Polynom $displaystyle p(x)= x^2+1=(x-2)(x-3)$ über den Körper der ganzen Zahlen modulo $5$ reduzierbar ist, aber nicht weiter gehen kann.

Wobei das Polynom über den Körper der ganzen Zahlen modulo $11$ irreduzibel war.

Ich habe mir einige Lösungen angesehen, die besagen, dass die Elemente in diesem Quotientenring vom Typ $ax+b$ sein werden, und dann haben wir $11$ Auswahlmöglichkeiten für jedes der beiden und folglich $121$-Elemente.

Ich konnte nicht nachvollziehen, warum die Elemente die Form $ax+b$ haben. Bitte erkläre.


Fakultät für Mathematik, Indian Institute of Technology Roorkee, Roorkee, 247667, Indien

* Korrespondierender Autor: Amit Sharma

Erhalten Oktober 2017 Überarbeitet März 2018 Veröffentlicht September 2018

In diesem Artikel untersuchen wir eine Klasse von schiefzyklischen Codes unter Verwendung eines schiefen Polynomrings über $R = mathbb_4+umathbb_4u^2 = 1$, mit einem Automorphismus $θ$ und einer Ableitung $δ_θ$. Wir verallgemeinern den Begriff der zyklischen Codes auf verzerrte zyklische Codes mit Ableitung und nennen solche Codes als $δ_θ$-zyklische Codes. Einige Eigenschaften des schiefen Polynomrings $R[x, θ, <δ_θ>]$ werden präsentiert. Ein $δ_θ$-zyklischer Code ist ein linker $R[x, θ, <δ_θ>]$-Untermodul von $frac<δ_θ>]>$. Dargestellt wird die Form einer Paritätsprüfmatrix eines freien $δ_θ$-zyklischen Codes gerader Länge $n$. Diese Codes werden weiter verallgemeinert, um $δ_θ$-zyklische Codes über $R$ zu verdoppeln. Wir haben einige neue gute Codes über $mathbb . erhalten_4$ über Graubilder und Restcodes dieser Codes. Die erhaltenen neuen Codes wurden gemeldet und der Datenbank von $mathbb . hinzugefügt_4$-Codes [ 2 ].

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$C$ $Phi(C)$ $Res(C)$ $C^*$
Satz Generatoren Code $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$
$$ $C_1$ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(10, 4^82^2, 2)>^<**>$
$$ $C_2$ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $C_3$ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_4$ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_5$ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_6$ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_7$ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$C$ $Phi(C)$ $Res(C)$ $C^*$
Satz Generatoren Code $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$
$$ $C_1$ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(10, 4^82^2, 2)>^<**>$
$$ $C_2$ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
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$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_6$ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$links< <left( x ight),xlinks(x echts),links(x echts),left( x ight)> ight>$ $C_7$ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$C$ $Phi(C)$ $Res(C)$ $C^*$
Satz Generatoren Name $(n, M, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$
$$ $A_1$ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $A_2$ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(12, 4^<10>2^2, 2)>^<**>$
$$ $A_3$ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $A_3$ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $mathbf<(8, 4^7, 2)^<**>>$ $mathbf<(16, 4^<14>, 2)>^<**>$
$C$ $Phi(C)$ $Res(C)$ $C^*$
Satz Generatoren Name $(n, M, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$ $(n, 4^2^, d_L)$
$$ $A_1$ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $A_2$ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(12, 4^<10>2^2, 2)>^<**>$
$$ $A_3$ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $A_3$ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $mathbf<(8, 4^7, 2)^<**>>$ $mathbf<(16, 4^<14>, 2)>^<**>$

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Um eine Zahl in die nächstniedrigere ganze Zahl (Ganzzahl) zu ändern, rufen Sie die Zahl ab Fußboden Wert. Der Bodenwert für 8,76 ist 8, da dies die nächstniedrigere ganze Zahl ist. Für die negative Zahl 6,17 ist der Boden -7, da dies die nächstniedrigere ganze Zahl ist.

Der Nachkommateil einer Zahl wird entfernt durch abschneiden es. Wenn eine Zahl den Wert 54.234 hat, ist ihr abgeschnittener Wert 54 . Das Abschneiden funktioniert bei einer negativen Zahl auf die gleiche Weise. Der abgeschnittene Wert von -34,913 ist -34 .


Die einfachsten Beispiele für abelsche Gruppen sind zyklische Gruppen, die von einem einzelnen Element erzeugte Gruppen sind und somit isomorph zu Z n mathbb_n Z n ​ erinnere dich daran, dass Z n mathbb_n Z n ​ ist definiert als

Obwohl alle zyklischen Gruppen abelsch sind, sind nicht alle abelschen Gruppen zyklisch. Zum Beispiel die Klein-Vier-Gruppe Z 2 × Z 2 mathbb_2 mal mathbb_2 Z 2 ​ × Z 2 ​ ist abelsch, aber nicht zyklisch.

Im Gegensatz dazu bildet die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit einem Gruppengesetz der Matrixmultiplikation keine abelsche Gruppe (es ist nichtabelisch), denn es gilt nicht allgemein M N = N M MN = NM M N = N M für Matrizen M , N M,N M , N . Die symmetrische Gruppe S n S_n S n ​ ist auch nichtabelsch für n ≥ 3 n geq 3 n ≥ 3 .

Auch Ringe sind im Hinblick auf ihre additiven Operationen Beispiele für abelsche Gruppen. Außerdem bilden die Einheiten eines Rings bezüglich ihrer multiplikativen Operation eine abelsche Gruppe. Zum Beispiel bilden die reellen Zahlen eine additive abelsche Gruppe, und die von Null verschiedenen reellen Zahlen (bezeichnet als R ∗ mathbb^ <*>R ∗ ) bilden eine multiplikative abelsche Gruppe.


MAT 112 Antike und Gegenwartsmathematik

In Definition 1.3.10 hatten wir Multiplikation als wiederholte Addition definiert. Für positive ganze Zahlen haben wir die Division als wiederholte Subtraktion durchgeführt. Wir betrachten zuerst diesen Fall und verallgemeinern dann den Algorithmus auf alle ganzen Zahlen, indem wir einen Divisionsalgorithmus für negative ganze Zahlen angeben.

Sehen Sie sich das Video in Abbildung 3.2.1 zum Divisionsalgorithmus an und lesen Sie dann die detaillierte Beschreibung im Rest dieses Abschnitts.

Unterabschnitt 3.2.1 Divisionsalgorithmus für positive ganze Zahlen

In unserer ersten Version des Divisionsalgorithmus beginnen wir mit einer nicht negativen ganzen Zahl (a) und subtrahieren so lange eine natürliche Zahl (b), bis wir eine Zahl kleiner als (b) und größer erhalten als oder gleich (0 ext<.>) Die Anzahl der Male, die wir (b) von (a) subtrahieren können, nennen wir die Division von (a) durch (b text<.>) Die verbleibende Zahl heißt die Division von (a) durch (b ext<.>)

Üblicherweise verwenden wir die Variable (q) für den Quotienten und die Variable (r) für den Rest. Wir haben

Der Divisionsalgorithmus berechnet den Quotienten sowie den Rest. In Algorithmus 3.2.2 und Algorithmus 3.2.10 zeigen wir dies an, indem wir zwei durch Komma getrennte Werte hinter dem angeben Rückkehr.

Wenn (alt b) dann können wir (b) nicht von (a) subtrahieren und erhalten eine Zahl größer oder gleich (b ext<.>) Also in diesem Fall , der Quotient ist 0 und der Rest ist (a) selbst. Wir fangen diesen Fall in Schritt 1 des Algorithmus ab.

Algorithmus 3.2.2 . Division für positive Zahlen.

eine natürliche Zahl (a) und eine natürliche Zahl (b)

Zwei ganze Zahlen (q) und (r) mit (a=(qcdot b)+r) und (0 leq rlt b)

Wir betrachten zunächst ein Beispiel, in dem der Algorithmus terminiert, bevor wir die wiederhole bis Schleife.

Beispiel 3.2.3 . Dividieren von (4) durch (7) mit Algorithmus 3.2.2.

Wir finden die Ausgabewerte von Algorithmus 3.2.2 für die Eingabewerte (a=4) und (b=7 ext<.>)

Da (a=4) und (b=7) Aussage (alt b) wahr ist. Also folgen wir der Anweisung nach dann und geben die Werte von (q) und (r ext<,>) zurück, nämlich 0 und 4.

Somit ist der Quotient der Division von (4) durch (7) (0) und der Rest ist (4 ext<.>)

Mit dem Divisionsalgorithmus finden wir einen Quotienten und einen Rest. In diesem Beispiel gehen wir durch die wiederhole bis mehrmals schleifen.

Beispiel 3.2.4 . Dividieren von (30) durch (8) mit Algorithmus 3.2.2.

Wir finden die Ausgabewerte des Algorithmus 3.2.2 für die Eingabewerte (a=30) und (b=8 ext<.>)

1. Da (a=30) und (b=8) gilt, ist die Aussage (alt b) falsch. Also fahren wir mit Schritt 2 fort.

5. Da (r=22) und (q=1) gilt, ist die Aussage (rlt q) falsch. Also fahren wir mit Schritt 4 fort

5. Da (r=14) und (q=8) gilt, ist die Aussage (rltq) falsch. Also fahren wir mit Schritt 4 fort

Da (r=6) und (q=8) gilt, ist die Aussage (rlt q) wahr. Also fahren wir mit Schritt 6 fort.

Wir liefern den Quotienten (q=3) und den Rest (r=6)

Somit ist der Quotient der Division von (30) durch (8) (3) und der Rest (6 ext<.>)

Beim Durcharbeiten der Anweisungen von Algorithmus 3.2.2 kann es bequemer sein, die Werte aller relevanten Variablen in jeder Iteration der Schleife in einer Tabelle anzugeben. Wir greifen Beispiel 3.2.4 noch einmal auf und präsentieren die Arbeit in kompakterer Form.

Beispiel 3.2.5 . Dividieren von (30) durch (8) mit Algorithmus 3.2.2 kürzer.

Wir finden die Ausgabewerte von Algorithmus 3.2.2 für die Eingabewerte (a=30) und (b=8 ext<.>)

In jede Zeile der Tabelle schreiben wir die Werte aller Variablen für eine Iteration der Schleife. Wenn eine Variable keinen Wert hat, lassen wir den Eintrag leer. Ebenso lassen wir für die Ausgabe die Einträge aller Variablen, die nicht Teil der Ausgabe sind, leer.

Schritte (ein) (B) (Q) (R)
Eingang (30) (8) () ()
1.,2.,3. (30) (8) (0) (30)
4.,5. (30) (8) (0+1=1) (30-8=22)
4.,5. (30) (8) (1+1=2) (22-8=14)
4.,5. (30) (8) (1+1=3) (14-8=6)
Ausgabe () () (3) (6)

Die Ausgabe ist also (q=3) und (r=6)

In Beispiel 3.2.6 können Sie beobachten, wie sich die Werte der Variablen ändern, während Sie sich durch die Schritte des Divisionsalgorithmus klicken.

Beispiel 3.2.6 . Divisionsalgorithmus interaktiv.

In Checkpoint 3.2.7 rollen wir die Schleife in Algorithmus 3.2.2 auf ähnliche Weise ab. Folgen Sie den Anweisungen, um Quotienten und Rest zu finden.

Prüfpunkt 3.2.7 . Finden Sie Quotienten und Rest mit Divisionsalgorithmus.

Manchmal interessiert man nicht sowohl den Quotienten als auch den Rest. In einem solchen Fall kann man einen vereinfachten Algorithmus verwenden. Bestimmen Sie die Ausgabe des Algorithmus in Checkpoint 3.2.8.

Prüfpunkt 3.2.8 . Eine weitere Variante des Divisionsalgorithmus.

Wenn (a>0 ext<,>) dann liefert Algorithmus 3.2.2 den Quotienten und Rest der Division von (a) durch (b ext<.>) Wenn wir versuchen, Algorithmus 3.2.2 zu verwenden wenn (a) negativ ist, gibt der Algorithmus immer (0,a) zurück, das die Bedingung (0le r) für die Ausgabe nicht erfüllt, da (r=alt 0 ext<). >) Wir brauchen also einen anderen Algorithmus für den Fall (alt 0 ext<.>)

Unterabschnitt 3.2.2 Divisionsalgorithmus für negative ganze Zahlen

Wenn (alt 0 ext<,>) wir immer noch (q) und (r) finden wollen, so dass (a=(qcdot b)+r) mit (0 le rlt b ext<.>) Wir erhalten einen positiven Rest, wenn (a) negativ ist, durch wiederholte Addition von (b ext<.>) Dies entspricht der wiederholten Addition von (-b ext<.>) Sei (s) die Anzahl der Male, die wir (b) zu (a) addieren müssen, um (0 le r lt b ext< zu erhalten. >) Nach (s) Additionen von (b) zu (a) gilt

Wenn wir (q:=-s ext<,>) lassen, erhalten wir (r=a-(qcdot b)) (vergleichen Sie dies mit dem, was wir wollten). Wir hören auf, wenn (0le rlt b ext<.>) Wir fügen wiederholt (b) zu negativen Zahlen hinzu, bis (0le rlt b) wahr ist. Da eine negative Zahl plus (b) immer kleiner als (b) ist und wir nach jeder Addition den Wert von (r) überprüfen, reicht es aus zu prüfen, ob (0le r ext<). >)

Beispiel 3.2.9 . Dividieren von (-33) durch (9).

Wir veranschaulichen den Vorgang des Teilens einer negativen Zahl, indem wir (-33) durch (9 ext<.>) teilen. Wir fügen wiederholt (9) hinzu, bis wir eine Zahl von (0) bis ( 9-1=8 ext<.>) Diese Zahl ist der Rest. Das Negative der Anzahl der Additionen von (9) ist der Quotient.

Als (0le 3lt 9) sind wir fertig. Der Rest ist (3 ext<.>) Wir haben (9) viermal addiert, also ist der Quotient (-4 ext<.>) Wir haben

Wir formalisieren dieses Verfahren nun in einem Algorithmus.

Algorithmus 3.2.10 . Division für negative ganze Zahlen.

Eine negative ganze Zahl (a) und eine natürliche Zahl (b)

Zwei ganze Zahlen (q) und (r) mit (a=(qcdot b)+r) und (0 leq rlt b)


Wie schreibe ich einen Divisionssatz?

Um einen Divisionssatz zu schreiben, gehen Sie wie folgt vor:

  1. Notieren Sie zuerst die Gesamtzahl, die geteilt oder geteilt wird.
  2. Schreiben Sie als nächstes das Divisionszeichen ÷.
  3. Schreiben Sie nach dem Teilungszeichen die Anzahl der Gruppen auf, in die der Betrag aufgeteilt wird.
  4. Als nächstes schreiben Sie das Gleichheitszeichen =.
  5. Schreiben Sie schließlich die Nummer in jede Gruppe, nachdem die Objekte freigegeben wurden.

Solange wir ganze Zahlen verwenden, steht die größte Zahl in einem Divisionssatz an erster Stelle.

Hier ist ein Beispiel für das Schreiben eines Divisionssatzes für eine Wortaufgabe.

Zehn Murmeln werden in 5 Beutel gesteckt.

Der erste Schritt besteht darin, die Gesamtzahl, die geteilt wird, zu schreiben, die 10 ist.

Der zweite Schritt besteht darin, ein Divisionszeichen zu schreiben.

Der dritte Schritt besteht darin, die Anzahl der Gruppen zu schreiben. Dies ist die Anzahl der Beutel, in die die Murmeln gesteckt werden. Wir haben 5.

Der vierte Schritt besteht darin, zwei ein Gleichheitszeichen = zu schreiben.

Der fünfte Schritt besteht darin, die Zahl in jede Gruppe zu schreiben. Indem wir die Murmeln in 5 gleiche Gruppen einteilen, können wir sehen, dass es 5 in jeder Gruppe gibt.

Der Divisionssatz ist 10 ÷ 5 = 2.

Dieser Satz bedeutet, dass 10 in 5 gleiche Gruppen geteilt werden, was uns 2 in jeder Gruppe ergibt.

Hier ist ein weiteres Beispiel für das Schreiben eines Divisionssatzes für eine Wortaufgabe.

12 Äpfel werden von 4 Kindern geteilt.

Denken Sie daran, dass die größte Zahl im Divisionssatz an erster Stelle steht.

Wir teilen 12 Objekte zwischen 4 Personen.

Jedes Kind bekommt 3 und somit ist unsere Antwort auf die Division 3.

12 ÷ 4 = 3 bedeutet, dass bei 12 Äpfeln, die von 4 Kindern geteilt werden, jedem Kind 3 Äpfel gegeben werden.

Hier ist ein Beispiel für das Schreiben einer Division.

16 Vögel werden in 4er-Gruppen eingeteilt.

Die größte Zahl ist die Summe. Wir haben 16 Vögel, also schreiben wir dies zuerst.

Die Zahl nach dem Divisionszeichen ist die Anzahl der Gruppen.

Wir haben 16 ÷ 4, was bedeutet, dass 16 Vögel in 4 gleiche Gruppen aufgeteilt werden.

Wir zählen, wie viele Vögel in jeder Gruppe unsere Antwort nach dem Gleichheitszeichen erhalten.

Es gibt 4 Vögel in jeder Gruppe, also 16 ÷ 4 = 4.

Probieren Sie jetzt unsere Lektion aus Kurzaufteilung ohne Reste wo wir lernen, wie man die kurze Divisionsmethode zum Teilen von Zahlen verwendet.


Einfache Divisionswortprobleme

Um ein Divisionswortproblem zu lösen, können wir die folgenden Schritte verwenden:

  1. Identifizieren Sie die in der Frage angegebenen Zahlen.
  2. Bestimmen Sie, welche Zahl die Gesamtmenge ist.
  3. Identifizieren Sie, wie viele Gruppen wir teilen oder wie viele in jede Gruppe gehen müssen.
  4. Teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Gruppen, um den Betrag in jeder Gruppe zu ermitteln.
  5. Oder teilen Sie die Gesamtzahl durch die Anzahl der benötigten Gruppen in jeder Gruppe, um herauszufinden, wie viele Gruppen gebildet werden können.

In diesem Beispiel ‘Ich habe 10 Süßigkeiten vor sich gleichmäßig verteilen zwischen 5 Kindern. Wie viele Süßigkeiten haben sie? jeder bekommen?’

Wir versuchen herauszufinden, wie viele Süßigkeiten jedes Kind bekommt, also möchten wir wissen, wie viele Süßigkeiten in jeder Gruppe sein werden.

Wir identifizieren zuerst die Gesamtmenge, die 10 Bonbons ist.

Jetzt stellen wir fest, wie viele Gruppen wir haben, das sind 5. Wir teilen uns gleichmäßig auf 5 Kinder auf.

Wir teilen den Gesamtbetrag durch die Anzahl der Gruppen.

Wir teilen 10 Süßigkeiten zwischen 5 Personen.

10 ÷ 5 = 2 und somit bekommt jedes Kind je 2 Bonbons.

Beim Unterrichten von Divisionswortaufgaben können wir 10 Süßigkeiten zeichnen und sie gleichmäßig gruppieren, indem wir Kreise um sie ziehen, um dies zu visualisieren. Wir könnten auch 10 Spielmarken bekommen und sie gleichmäßig verteilen, einen nach dem anderen.

Wir können in diesem Beispiel sehen, dass wir die Schlüsselwörter von . hatten gleichmäßig verteilen und jeder, was uns einen Hinweis darauf geben kann, dass wir eine Teilung haben.

The division also tells us how many times 5 goes into 10.

In this next example, ‘I have 80 matches. I will put 8 into each packet. How any packets will I fill?’

We want to see how many packets we will fill. We want to see how many groups we will create.

We first identify the total number of matches, which is 80.

We then identify the number in each packet, which is 8.

To find the total number of packets, we will divide.

80 ÷ 8 = 10 and so, we can make 10 packets.

We can think of this as working out how many times 8 goes into 80 or how many packets can be made from 80 matches.

In this next example, ‘I need 30 crayons. Each pack contains 5 crayons. How many packs should I buy?’

The total number is the larger number, which is is 30.

We are buying the crayons in equal groups of 5.

We need to work out how many groups we need. How many fives make 30?

We need to work out how many fives go into 30.

30 ÷ 5 = 6 and so, we need 6 packs.

We can check out answer. 6 lots of 5 make the 30 crayons needed because 6 × 5 = 30.

In this example we needed to find the number of groups required. So we divided the total by the number in each group.

In this example, ‘I have 21 chairs. I will arrange the chairs in rows of 7.How many rows should I make?’

Here we have the total number of chairs, which is 21.

We are arranging them into rows of 7, so each group contains 7 chairs.

We want to find the number of rows that we can make. We want to work out how many rows of 7 can be made from 21 chairs. This is how many times 7 goes into 21.

21 ÷ 7 = 3 and so, we can make 3 rows.

We can see that each row is the same size. We can teach this by taking 21 counters and sharing them into 3 equal rows.

In this example involving money, ‘Shirts cost $11 and I have $66. How many shirts can I buy?’

We want to know how many elevens go into 66.

The total is $66 and we are dividing by 11.

We want to know how many times we can spend $11.

66 ÷ 11 = 6 and so, we can spend $11 six times.

Now try our lesson on Short Division without Remainders where we learn how to use the short division method to divide numbers.


Schau das Video: A System of Equations with Integer Solutions (November 2021).